数据结构- 堆

来源：互联网发布：中国货币供给量数据编辑：程序博客网时间：2024/05/18 03:35

堆排序是最重要的排序算法之一，在平时的开发以及面试中经常会用到。堆的特点是：

1，有一颗完全二叉树构成，如图1；

2，可分为最大堆和最小堆。最大堆的意思就是：任何根节点的数据不小于左右孩子节点的数据；反之，最小堆的意思就是任何节点的数据不大于左右孩子节点的数据；

3，堆排序的算法复杂度为O(NlgN)，比冒泡和插入快，究其原因在于堆只维护局部最大或最小。

4，堆的存储用数组实现，按层存储，如图1；

存储在数组里：

图 1

下面分四部分讲解堆，分别为：堆的插入，删除，以及堆排序，最后是堆化的优先队列。

一，堆的插入

堆的插入只能在最后一个位置插入，如图 2。只能在黑色圈的地方插入。插入以后，必须进行更新，以保持堆的性质，即根数据最大或是最小。更新的思路：从插入节点到根节点，依次比较更新，直到满足条件（本列子就是：根数据小于左右孩子）。

大致原理如图解：

关键代码如下：

注意的是：左孩子和右孩子的顺序分别为2i+1,2i+2。结合上面的流程图，插入的过程为：从下往上依次比较，重新调整堆的结构。

[cpp] view plaincopyprint?
void MinHeapFixup(int* a, int i)    
{    
    int j, temp;         
    temp = a[i];    
    j = (i - 1) / 2;      //父结点    
    while (j >= 0 && i != 0)    
    {    
        if (a[j] <= temp)    
            break;    
            
        a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点    
        i = j;    
        j = (i - 1) / 2;    
    }    
    a[i] = temp;    
}    
  
  
void MinHeapAddNumber(int* a, int n, int nNum)    
{    
    a[n] = nNum;    
    MinHeapFixup(a, n);    
}    

二，堆的删除

记住只能删除最顶部的元素，再把最低端的元素放到最顶端，从上往下依次更新整个堆。示意图如下：

[cpp] view plaincopyprint?
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)    
{    
    int j, temp;    
    
    temp = a[i];    
    j = 2 * i + 1;    
    while (j < n)    
    {    
        if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //如果存在有孩子，比较左右孩子的大小  
            j++;    
    
        if (a[j] >= temp)    
            break;    
    
        a[i] = a[j];       
        i = j;    
        j = 2 * i + 1;    
    }    
    a[i] = temp;    
}    
  
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)    
{    
    std::swap(a[0], a[n - 1]);    
    MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);    
}    

总结：删除，只能删除头结点，然后从上往下依次调整堆；插入，只能在末端插入，然后从下往上依次调整堆。

三，堆化数组，采用插入的思想从下往上依次调整堆即可。此时调整每一个非叶子节点即可。

关键代码如下：

[cpp] view plaincopyprint?
void MakeMinHeap(int* a, int n)    
{    
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)    
    MinHeapFixdown(a, i, n);    
}    

测试：

结合图形中的数据，我们演示一遍：

[cpp] view plaincopyprint?
int main()  
{  
    int a[8]={9,7,5,6,8,4,10};  
    cout<<"原始数组里的数据为：";  
    for(int i=0;i<7;++i)  
        cout<<a[i]<<" ";  
    cout<<endl<<"堆化后的数组为：";  
    MakeMinHeap(a, 7);  
    for(int i=0;i<7;++i)  
        cout<<a[i]<<" ";  
    cout<<endl<<"增加一个数据3后的数组为：";  
    MinHeapAddNumber(a,7,3);  
    for(int i=0;i<8;++i)  
        cout<<a[i]<<" ";  
      
    MinHeapDeleteNumber(a,8);  
   cout<<endl<<"删除顶点后的数据为：";  
  
   for(int i=0;i<7;++i)  
        cout<<a[i]<<" ";  
    return 0;  
}  

我们自然要问：维护一个堆结构的意义何在？

至少有两个目的：堆排序和优先队列。

四，堆排序。思想：既然我们可以每次取出顶点的数据，取到的数据又是最小数据，根据此思想，我们可以把数组里的数据全部取完后得到的数据就是有顺序的了。不过跟归并排序一样，空间复杂度增加了，必须有一个数组去接受。

测试：

[cpp] view plaincopyprint?
int b[8];  
    for(int i=0;i<8;++i)  
    {  
        b[i]=a[0];  
        MinHeapDeleteNumber(a,8-i);  
    }  
    for(int i=0;i<8;++i)  
        cout<<b[i]<<" ";  

我们知道，任何算法都得用时间复杂度计算一下，否则，算法没什么意义。由于按树堆化，树高lgN，最坏情况下，每层计算N次，所以复杂度为：O(NlgN),跟归并一样。

最优队列：最优队列是每次都弹出数据的最大或是最小值。每次进队列后，都要一次更新操作。每次出队列都要一次删除操作。

0 0