hdu acm 1023 Train Problem II ->卡特兰(Catalan大数）

#include<iostream>using namespace std;struct Node        //节点{int num[105];int len;           //数的长度} a[105];void CalCatalen()   //卡特兰数计算{int i,j,len,c,t;   //len长度,c进位a[1].num[0]=a[1].len=1;len=1;for(i=2;i<=100;i++){for(j=0;j<len;j++)         //乘法,分子部分a[i].num[j]=a[i-1].num[j]*(4*i-2);c=0;for(j=0;j<len;j++)  //处理相乘结果{t=a[i].num[j]+c;a[i].num[j]=t%10;c=t/10;}while(c)     //处理进位{a[i].num[len++]=c%10;c/=10;}c=0;for(j=len-1;j>=0;j--)   //除法，分母部分{t=c*10+a[i].num[j];a[i].num[j]=t/(i+1);c=t%(i+1);}while(!a[i].num[len-1])  //高位0处理len--;a[i].len=len;}}int main(){int i,n;CalCatalen();  //卡特兰数打表while(scanf("%d",&n)==1){for(i=a[n].len-1;i>=0;i--)cout<<a[n].num[i];cout<<endl;}    return 0;}

参考自：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6936859

卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰公式的应用很广泛，最典型的四种应用问题现描述如下：

1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　     类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

Catalan数的解法

1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
令h(1)=1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
　　另类递归式：
　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)