Arrange an Array to Form a Smallest Digit

原文链接：http://blog.csdn.net/cxllyg/article/details/7659525

问题描述：输入一个正整数数组，将它们连接起来排成一个数，输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{32,  321}，则输出这两个能排成的最小数字32132。请给出解决问题的算法，并证明该算法。

      思路：先将整数数组转为字符串数组，然后字符串数组进行排序，最后依次输出字符串数组即可。这里注意的是字符串的比较函数需要重新定义，不是比较a和b，而是比较ab与 ba。如果ab < ba，则a < b；如果ab > ba，则a > b；如果ab = ba，则a = b。比较函数的定义是本解决方案的关键。这道题其实就是希望我们能找到一个排序规则，根据这个规则排出来的数组能排成一个最小的数字。

      证明：为什么这样排个序就可以了呢？简单证明一下。根据算法，如果a < b，那么a排在b前面，否则b排在a前面。可利用反证法，假设排成的最小数字为xxxxxx，并且至少存在一对字符串满足这个关系：a > b，但是在组成的数字中a排在b前面。根据a和b出现的位置，分三种情况考虑：

      （1）xxxxab，用ba代替ab可以得到xxxxba，这个数字是小于xxxxab，与假设矛盾。因此排成的最小数字中，不存在上述假设的关系。

      （2）abxxxx，用ba代替ab可以得到baxxxx，这个数字是小于abxxxx，与假设矛盾。因此排成的最小数字中，不存在上述假设的关系。

      （3）axxxxb，这一步证明麻烦了一点。可以将中间部分看成一个整体ayb，则有ay < ya，yb < by成立。将ay和by表示成10进制数字形式，则有下述关系式，这里a，y，b的位数分别为n，m，k。

        关系1： ay < ya => a * 10^m + y < y * 10^n + a => a * 10^m - a < y * 10^n - y => a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y

        关系2： yb < by => y * 10^k + b < b * 10^m + y => y * 10^k - y < b * 10^m - b => y < b( 10^m -1)/( 10^k -1) 

        关系3： a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y < b( 10^m -1)/( 10^k -1)  => a/( 10^n - 1)< b/( 10^k -1) => a*10^k - a < b * 10^n - b =>a*10^k + b < b * 10^n + a => a < b

       这与假设a > b矛盾。因此排成的最小数字中，不存在上述假设的关系。

       综上所述，得出假设不成立，从而得出结论：对于排成的最小数字，不存在满足下述关系的一对字符串：a > b，但是在组成的数字中a出现在b的前面。从而得出算法是正确的。

代码一：利用指针。

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. using namespace std;  
4.   
5. const int g_MaxNumberLength=10;  
6. char* g_StrCombine1=new char[g_MaxNumberLength*2+1];  
7. char* g_StrCombine2=new char[g_MaxNumberLength*2+1];  
8.   
9. int compare(const void* strNumber1, const void* strNumber2)  
10. {  
11.     strcpy(g_StrCombine1, *(const char**)strNumber1);  
12.     strcat(g_StrCombine1, *(const char**)strNumber2);  
13.   
14.     strcpy(g_StrCombine2, *(const char**)strNumber2);  
15.     strcat(g_StrCombine2, *(const char**)strNumber1);  
16.   
17.     return strcmp(g_StrCombine1, g_StrCombine2);  
18. }  
19.   
20. void PrintMinNumber(int *numbers, int length)  
21. {  
22.     if(numbers==NULL || length<=0)  
23.         return;  
24.   
25.     char** strNumbers=(char**)(new int[length]);  
26.     for(int i=0; i<length; i++)  
27.     {  
28.         strNumbers[i]=new char[g_MaxNumberLength+1];  
29.         sprintf(strNumbers[i], "%d", numbers[i]);  
30.     }  
31.   
32.     qsort(strNumbers, length, sizeof(char*), compare);  
33.   
34.     for(i=0; i<length; i++)  
35.         cout<<strNumbers[i];  
36.     cout<<endl;  
37.   
38.     for(i=0; i<length; i++)  
39.         delete[] strNumbers[i];  
40.   
41.     delete[] strNumbers;  
42.   
43. }  
44.   
45. void main()  
46. {  
47.     int Num;  
48.     cin>>Num;  
49.     int *numbers=new int[Num];  
50.     for(int i=0; i<Num; i++)  
51.         cin>>numbers[i];  
52.   
53.     PrintMinNumber(numbers, Num);  
54. }  

代码二：利用string类。

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1. #include <iostream>  
2. #include <string>  
3. #include <sstream>  
4. #include <algorithm>  
5. using namespace std;  
6.   
7. bool compare(const string& str1, const string &str2)  
8. {  
9.     string s1=str1+str2;  
10.     string s2=str2+str1;  
11.     return s1<s2;  
12. }  
13.   
14. void ComArrayMin(int *pArray, int num)  
15. {  
16.     int i;  
17.     string *pStrArray=new string[num];  
18.   
19.     for(i=0; i<num; i++)  
20.     {  
21.         stringstream stream;  
22.         stream<<pArray[i];  
23.         stream>>pStrArray[i];       
24.     }  
25.   
26.     sort(pStrArray, pStrArray+num, compare);  
27.   
28.     for(i=0; i<num; i++)  
29.         cout<<pStrArray[i];  
30.   
31.     cout<<endl;  
32.   
33.     delete[] pStrArray;  
34.   
35. }  
36.   
37. void main()  
38. {  
39.     int Num;  
40.     cin>>Num;  
41.     int *pArray=new int[Num];  
42.   
43.     for(int i=0; i<Num; i++)  
44.         cin>>pArray[i];  
45.   
46.     ComArrayMin(pArray, Num);  
47.   
48. }