小谈矩阵和坐标变换

很多朋友学习3D游戏编程，但往往一些基本概念含混不清，这会对以后的学习带来很大阻碍。最近看到有朋友问关于矩阵和坐标变换如何理解，故在此略作讨论，如有谬误，请不吝赐教！

首先，谈到矩阵，就离不开坐标变换，而3D坐标变换的基础是来源于线性代数。以下摘抄自孟岩的blog：
1 线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。所以，矩阵的本质是运动的描述。
2 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。
3 矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。

我们先讨论3*3矩阵：
1 矩阵的行序和列序（也称行优先或列优先）仅仅是指矩阵的存储方式，即我们如果用一个4*4数组m存储矩阵，如果m[0][0]-m[0][3]连续存储了矩阵的第一行，那么就是行优先，反之就是列优先。无论是行优先还是列优先，它们代表的数学意义是相同的。
2 如果矩阵是行序，那么它的第一列（m[0][0],m[1][0],m[2][0]）就代表X变换，第二列就是Y变换，第三列就是Z变换。
  我们来看看为什么：
刚才提到矩阵把线性空间中的一个点给变换到另一个点，不妨称变换前的点为P1(x1,y1,z1)，变换后的点为P2(x2,y2,z2）：
那么根据线代中的矩阵乘法，P1 * M = P2展开就成了：
x2 = x1*m[0][0] + y1*m[1][0] + z1*m[2][0];
y2 = x1*m[0][1] + y1*m[1][1] + z1*m[2][1];
z2 = x1*m[0][2] + y1*m[1][2] + z1*m[2][2];
看出什么了吗？
如果把一个行序矩阵（接下来讨论的都是行序矩阵，就省略行序二字了）的每一列分别用X,Y,Z三个矢量来表示，那么M就表示为：XYZ三根轴。
现在，矩阵M看起来是不是很像一个坐标系？而P1到P2的变换就是P1分别与X,Y,Z的点积！
也就是矩阵M是把P1从老坐标系变换到新坐标系，而矩阵的三列（三根轴）就分别代表了新坐标系的三根轴在老坐标系中的坐标！
而点积的几何意义其实就是求取投影！所以坐标变换的几何本质（刚才已经讨论过其代数本质），就是把一个点分别投影到三根轴上去而已！
再仔细想一想，P1在XYZ三根轴上的投影，不正是它在新坐标系下的坐标吗？这样一来，坐标变换是不是就太容易理解了呢？
3 所以缩放矩阵M的三根轴，XYZ的模就不等于1，如果某一根轴的模不等于1，那么就有了对应的缩放。所以纯旋转矩阵，前三列的模必然等于1。
4 DX的矩阵是行序，OpenGL的矩阵是列序。我写的引擎，S3D的矩阵也是列序的。

最后说说4*4矩阵：
1 刚才讨论了旋转和缩放，平移如何表示呢？
  x2 = x1*m[0][0] + y1*m[1][0] + z1*m[2][0] + Xt;
这里Xt就是表示x方向上的平移。Xt,Yt,Zt共同构成了一个4*4矩阵的第4行的前3列。
2 4*4矩阵的第4列初始情况下一般设置为0,0,0,1，这些值也被称为W，它代表了近大远小的比例关系。此时需要被变换的点（矢量），也必须增加一个元素，成为x,y,z,w，而w的初始值设置为1。注意这里的xyzw并不是四元数的概念，这里的w仅仅是为了配合4*4矩阵运算而存在的。
3 4*4矩阵实际上是为了把多步坐标变换并置而产生的，矩阵并置后可以用一个4*4矩阵代表多次坐标变换，从而显著提高顶点变换的效率。而且参与变换的W最终还可以用于透视校正和深度测试。
4 对于4*4矩阵的上三角阵（3*3矩阵）的理解，可以完全沿用刚才3*3矩阵的讨论。

注1：几何流水线坐标变换基本流程：  Local->World->View->Projection->Homo->Viewport->Screen
注2：如果一个矩阵变换是线性的，那么它的转置与求逆等价。我们经常在一些逆变换（比如ShadowMap算法）中看到转置，不必疑惑，它的意义仍然是求逆。
注3：矩阵运算不满足交换律，所以会出现一些有趣的结果，比如M1代表一个旋转操作，M2代表一个平移操作，那么 P*M1*M2 就是先旋转再平移，而P*M2*M1就成了先平移在旋转。我们在实际3D编码中经常遇到这样的问题，就是一个物体是以自己为参照物旋转，还是以世界为参照物旋转，那么按照刚才的描述，假如Mw表示世界变换矩阵，如果Mw左乘M1，再作为最终变换矩阵，那么就是以自己为参照物旋转（很容易理解，因为是先旋转，才变换到世界坐标系嘛，所以这个旋转是定义在本地的），而如果Mw右乘M1，就是先变换到世界坐标系，再旋转了，这时当然就是以以世界为参照物旋转了。
注4：几个最基本的矩阵表达式，感兴趣的可以自己推导一下：
// | x 0 0 0 |
// | 0 y 0 0 |
// | 0 0 z 0 |
// | 0 0 0 1 | 缩放

// | 1 0 0 0 |
// | 0 1 0 0 |
// | 0 0 1 0 |
// | x y z 1 | 平移

// | 1  0 0 0 |
// | 0  c s 0 |
// | 0 -s c 0 |
// | 0  0 0 1 | X旋转 s,c表示旋转角的sin,cos值，下同

// | c 0 -s 0 |
// | 0 1  0 0 |
// | s 0  c 0 |
// | 0 0  0 1 | Y旋转

// |  c s 0 0 |
// | -s c 0 0 |
// |  0 0 1 0 |
// |  0 0 0 1 | Z旋转

// | Sx*Sy*Sz + Cy*Cz Cx*Sz Sx*Cy*Sz - Sy*Cz 0 |
// | Sx*Sy*Cz - Cy*Sz Cx*Cz Sx*Cy*Cz + Sy*Sz 0 |
// |            Cx*Sy   -Sx            Cx*Cy 0 |
// |                0     0                0 1 | ZXY旋转的并置