过渡矩阵与坐标变换

在n维向量空间中给定两组基：

(I) α1,α2,...,αn
(II) β1,β2,...,βn
若：

β1=c11α1+c21α2+...+cn1αnβ2=c12α1+c22α2+...+cn2αn...βn=cn1α1+cn2α2+...+cnnαn

看到乘的矩阵是列，因此矩阵C在右边，即：

[β1,β2,...,βn]=[α1,α2,...,αn]C,C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢c11c21...cn1c12c22...cn2............c1nc2n...cnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥

C=[α1,α2,...,αn]−1[β1,β2,...,βn]

这种变换是从坐标基α1,α2,...,αn到坐标基β1,β2,...,βn的变换。

这两个向量组是可以互相表出的，从一个坐标基到另一个坐标基，只需要在想变化的坐标基后面乘上一个矩阵，这个矩阵就叫作过渡矩阵。

定理：过渡矩阵C是可逆矩阵。
定理：向量γ在基底α1,α2,...,αn 的坐标是x1,x2,...,xn,在基底β1,β2,...,βn下的坐标是y1,y2,...,yn则坐标变换公式是：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2...xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=C⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢y1y2...yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥或者简写为：x=C⋅y

上面的基转化是写在待转的基后面。坐标转换是关注当前坐标如何等于变化后的坐标。仅仅从形式上看，x是n×1的，C是n×n的，y是n×1的。那么只有Cy才能得到一样的形式，否则yC没法进行矩阵乘法。

至于为何是这样，可以这样考虑，在给定的基[α1,α2,α3]下，向量ξ的坐标是x=[x1,x2,x3]T,等价于：ξ=[α1,α2,α3][x1,x2,x3]T

因此，换另一个基时，向量本身不变，只是基变了。

ξ=[α1,α2,α3][x1,x2,x3]T=[β1,β2,β3][y1,y2,y3]T

由此可得：

x=[x1,x2,x3]T=[α1,α2,α3]−1[β1,β2,β3][y1,y2,y3]T=Cy

这便是x = Cy的简单推导过程。