从梯度场重建图像

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很多图像处理的算法是在图像的梯度域完成的。比如图像增强、图像的融合、图像的边缘检测和分割等。在这些算法中或者一部分或者全部在梯度域中完成。

      图像梯度的概念很简单。图像梯度可以把图像看成二维离散函数，图像梯度其实就是这个二维离散函数的求导：
      图像梯度: G(x,y) = dx i + dy j;   dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j);   dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j);
      其中，I是图像像素的值(如：RGB值)，(i,j)为像素的坐标。这里说的是简单的梯度定义，其实还有更多更复杂的梯度公式。
      图像的梯度是离散的一阶微分，当然还有二阶微分。一阶微分在图像的边缘处理上比较好（Sobel算子）；而二阶微分在图像增强方面比较好，对于细节的处理好一些。
      这里主要介绍由一个梯度重构图像的方法。这里的梯度场肯定是在源图像的梯度场的基础上做了一些操作之后的目标图像的梯度场。用这个梯度场重构处目标图像也就达到了目的。设I为目标图像，Ｇ为图像的梯度场，到这里是已知的。
      在最小二乘法下的目标函数为：　

　　其中： 

　　其欧拉－拉格朗日方程为：
　　上式经过整理具有泊松方程形式：　其中： 
　　解上面的泊松方程就可以得到目标图像。泊松方程的解涉及到矩阵的操作，当然也有优化的算法。还需要继续学习。