13概率问题

    题目描述：一个文件中含有多个元素，只能遍历一遍，要求等概率随机取出其中之一。

 

    先讲一个例子，5个人抽5个签，只有一个签意味着“中签”，轮流抽签，那么这种情况，每个人中签的概率分别是多大呢？

    第一个人中签的概率是1/5,

    第二个人中签的情况只能在第一个人未中时才有可能，所以他中的概率是4/5 * 1/4 = 1/5（4/5表示第一个人未中，1/4表示在剩下的4个签里中签的概率），所以，第二个人最终的中签概率也是1/5，

    同理，第三个人中签的概率为：第一个人未中的概率X 第二个人未中的概率X第三个人中的概率，即为：4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5，

    一样的可以求出第四和第五个人的概率都为1/5，也就是说先后顺序不影响公平性。

 

    回到最开始的问题，一个文件中包含n个数据，而且n是不可知的，那么下面的思路就不太可行：随机选取1-n之间的任意一个数i = rand(1,n)，然后返回文件中的第i个数。

 

    此题思路如下：

    顺序遍历文件，当前遍历的元素为第i个元素，picked表示之前选取了的某一个元素，此时生成一个随机数r=rand()，那么r%i == 0的概率是。当r%i== 0的时候，将picked替换为当前值，否则扫描下一个元素直到文件结束。

 

伪代码如下：

ElementRandomPick(file)

         int length = 1;

         While( length <= file.size )

                  if( rand() % length == 0)

                        picked = File[length];

                          length++;

         Return picked

 

 

    上面这种策略，当遍历完所有的n个数之后，任取一数的概率都是相同的 ，

   用归纳法证明：

   在遍历第1个元素的时候，即length为1，那么rand() % length == 0的概率为1,所以，目前取第1个的概率为1。

    遍历到第2个元素时，length=2，rand() % length == 0的概率为1/2 , 所以目前，取第2个数的概率为1/2 ，取第一个数的概率为1*（1-(1/2) ）=1/2。

    遍历到第i个元素时，length=i, rand() % length== 0的概率为1/i , rand() % length != 0的概率为(i-1/i) ，所以目前，取第i个数的概率为1/i 。取第m个数（m<i）的概率是(1/m) *(m/m+1) *(m+1/m+2) *...*(1/i)  = 1/i。

    走到文件最后，每一个元素最终被选出的概率为 1/n 。

(http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6712171)