bzoj1367 [Baltic2004]sequence [左偏树]

Description

给定一个序列t1,t2,...,tn，求一个递增序列z1<z2<...<zn， 使得R=|t1−z1|+|t2−z2|+...+|tn−zn|的值最小。本题中，我们只需要求出这个最小的R值。

Input

第1行为一个整数n(1<=n<=106)， 第2行到第n + 1行，每行一个整数，第k + 1行为tk(0<=tk<=2∗109).

Output

一个整数R

Sample Input
7
9
4
8
20
14
15
18

Sample Output

13

HINT

所求的Z序列为6, 7, 8, 13, 14, 15, 18.
R=13

Solution

论文：左偏树的特点及其应用

现学了一波左偏树orz.

先考虑只要求z1<=z2<=...<=zn：

两个特殊情况：

-t[1]<=t[2]<=...<=t[n]，此时z[i] = t[i].

-t[1]>=t[2]>=...>=t[n]，此时z[i]=x，x为序列t的中位数.

于是可以将原数列划分成m个区间，每一段的解为该区间的中位数。

实现：

假设已经求出了前k个数的最优解，被划分成了m个区间，每段区间的最优解为w[i](w[1]<=w[2]<=...<=w[m])，现在考虑第k + 1个数，先将t[k + 1]单独看作一个区间，最优解为w[m+1]，此时假如w[m]>w[m+1]，则合并区间m，m + 1，然后找出新区间的解（中位数），重复上述过程直到w[m]<=w[m+1].

如何维护中位数：当堆的大小大于区间长度的一半时删除堆顶元素，则堆中的元素一定是该区间内较小的一半元素，堆顶元素即为该区间的中位数。

这只是z1<=z2<=...<=zn的情况。。

然而要求递增只需要将原本的t[i]改成t[i] - i，再按照上述做法做就行了orz。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 1000005;int n;int arr[MAXN];int tot = 0;int v[MAXN], tr[MAXN][2], dist[MAXN], siz[MAXN];int root[MAXN];int l[MAXN], r[MAXN];int merge(int x, int y) {    if (!x || !y) return x + y;    if (v[x] < v[y]) swap(x, y);    tr[x][1] = merge(tr[x][1], y);    siz[x] = siz[tr[x][0]] + siz[tr[x][1]] + 1;    if (dist[tr[x][1]] > dist[tr[x][0]]) swap(tr[x][0], tr[x][1]);    dist[x] = dist[tr[x][1]] + 1;    return x;}int top(int x) {    return v[x];}int size(int x) {    return siz[x];}void pop(int &x) {    x = merge(tr[x][0], tr[x][1]);}int newNode(int x) {    v[++tot] = x;    siz[tot] = 1;    tr[tot][0] = tr[tot][1] = dist[tot] = 0;    return tot;}int main() {    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i <= n; i++) {        scanf("%d", &arr[i]);        arr[i] -= i;    }    int cnt = 0;    for (int i = 1; i <= n; i++) {        cnt++;        root[cnt] = newNode(arr[i]);        l[cnt] = r[cnt] = i;        while (cnt > 1 && top(root[cnt]) < top(root[cnt - 1])) {            cnt--;            root[cnt] = merge(root[cnt], root[cnt + 1]);            r[cnt] = r[cnt + 1];            while (size(root[cnt]) * 2 > r[cnt] - l[cnt] + 2)                pop(root[cnt]);        }    }    long long ans = 0;    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {        int t = top(root[i]);        for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++) {            ans += abs(t - arr[j]);        }    }    printf("%lld\n", ans);    return 0;}