抽签问题或是超几何概率

在一个冒险游戏里，你见到一个宝箱，身上有N把钥匙，其中一把可以打开宝箱，加入没有任何提示，随机尝试，问：

(1) 恰好第k次(1=<K=<N)打开宝箱的概率是多少？

(2) 平均需要尝试多少次？

本题中最大的焦点在于问题(1)，网上给出了两种互相矛盾的结果 1/N 和 (((N-1)/N)^(K-1))*(1/N). 经过仔细推敲，发现了其中的原因。

首先，看一下抽签问题：

N只签里面有一只好签，N个人按照排定的顺序从中各抽一张，抽签顺序有先后，这样对每个人都公平吗？也即每个人抽到好签的概率相对吗？

解：第i(1=<i<=N)个人抽到好签的概率 pi = A(i-1,N-1)/A(i,N) = 1/N。

结果显示每个人抽到好签的概率是相等的。

把上述抽签问题的描述改动一下：

N只签里面有一只好签，N个人按照排定的顺序从中有放回的各抽一张，直到有人抽中好签为止，抽签顺序有先后，这样对每个人都公平吗？也即每个人抽到好签的概率相对吗？

解：第i(1=<i<=N)个人抽到好签的概率 pi = ((1-1/N)^(i-1))*(1/N) = (((N-1)/N)^(i-1))*(1/N)。

结果显示每个人抽到好签的概率是不相等的。（该题目实际上符合概率中的几何分布）

通过抽签问题的求解发现，导致不同概率结果的原因在于是否是有放回的操作。

对于钥匙开门这个问题，如果已经尝试过的不正确钥匙在下一次开门尝试中不被考虑，那么这就是一个无放回的抽签(抽奖)问题，结果应该是1/N;否则结果就是(((N-1)/N)^(K-1))*(1/N)。