抽签问题

题目来自《挑战程序设计竞赛》第一章

1.题目描述

一个口袋中有n个纸片，每个纸片上写有数字，可以从口袋中抽取四次，每次记下纸片上的数字然后放回口袋。问是否存在抽取4次和为m的方案。存在，输出Yes，否则，输出No。

2.算法分析及代码

1.直接4个for循环即可解决。

时间复杂度为O(n^4)，

代码如下:

#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;#define maxn 50int main(){    int n,m,k[maxn];    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=0;i<n;i++){        scanf("%d",&k[i]);    }    bool ok=false;    for(int a=0;a<n;a++){        for(int b=0;b<n;b++){            for(int c=0;c<n;c++){                for(int d=0;d<n;d++){                    if(k[a]+k[b]+k[c]+k[d]==m){                        ok=true;                    }                }            }        }    }    if(ok) puts("Yes");    else puts("No");    return 0;}

2.二分搜索 O(n^3logn)

判断是否存在a、b、c、d使得k[a]+k[b]+k[c]+k[d]=m，可以在数组k中检查是否存在元素m-k[a]-k[b]-k[c]，先对数组排序，然后再二分查找，时间复杂度为O(n^3logn)

代码如下:

//k[d]=m-k[a]-k[b]-k[c]//利用二分查找，判断数组k中是否有元素m-k[a]-k[b]-k[c]#include <iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;#define maxn 1005int n,m,k[maxn];bool binarySearch(int x){    //x的存在范围是k[l]、k[l+1]、……k[r-1]    int l=0,r=n;    while(r-l>=1){        int mid=(l+r)/2;        if(k[mid]==x) return true;        else if(k[mid]<x) l=mid+1;        else r=mid;    }    return false;}void solve(){    sort(k,k+n);    bool ok=false;    for(int a=0;a<n;a++){        for(int b=0;b<n;b++){            for(int c=0;c<n;c++){                if(binarySearch(m-k[a]-k[b]-k[c])){                    ok=true;                }            }        }    }    if(ok) puts("Yes");    else puts("No");}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=0;i<n;i++){        scanf("%d",&k[i]);    }    solve();    return 0;}

3.二分查找 时间复杂度为O(n^2logn)

//k[d]+k[c]=m-k[a]-k[b]//数组kk中存放的是k[c]+k[d]共n^2个元素//利用二分查找，判断数组kk中是否有元素m-k[a]-k[b]#include <iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;#define maxn 1005int n,m,k[maxn];int kk[maxn*maxn];bool binarySearch(int x){    //x的存在范围是k[l]、k[l+1]、……k[r-1]    int l=0,r=n;    while(r-l>=1){        int mid=(l+r)/2;        if(kk[mid]==x) return true;        else if(kk[mid]<x) l=mid+1;        else r=mid;    }    return false;}void solve(){    for(int c=0;c<n;c++){        for(int d=0;d<n;d++){            kk[c*n+d]=k[c]+k[d];        }    }    sort(kk,kk+n);    bool ok=false;    for(int a=0;a<n;a++){        for(int b=0;b<n;b++){            if(binarySearch(m-k[a]-k[b])){                ok=true;            }        }    }    if(ok) puts("Yes");    else puts("No");}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=0;i<n;i++){        scanf("%d",&k[i]);    }    solve();    return 0;}

本问题需要二分搜索这一基础算法知识，也需要将四个数分成两两考虑的想象力。此外像这样从复杂度 较高的算法出发，不断降低时间复杂度满足题目要求的过程，也是设计

算法经常经历的过程。