最大自序和问题

最大自序和问题。给出一个长度为n的序列

求最大连续和。换句话说，要求找到1<=i<=j<=n，使得

尽量大。

使用枚举，demo1

tot = 0;best = A[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j <= n; j++) { // 检查连续子序列A[i]~A[j]int sum = 0;for (int k = i; k <= j; k++) {sum += A[k];tot++;}if (sum > best) {best = sum; // 更新最大值}}}

显然有

优化：设

直观含义是连续子序列之和等于两个前缀和之差。用这个结论，省略最内层的循环。

demo2

S[0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {S[i] = s[i - 1] + A[i]; // 递推前缀和S}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j <= n; j++) {best = max(best, S[j] - S[i - 1]); // 更新最大值}}

此时时间复杂度为O(n^2)。

下面用分治法：

demo3

int maxSubSum(int* A, int x, int y) // 返回数组在左闭右开区间[x,y)中的最大连续和{if (y - x == 1) {return A[x]; // 只有一个元素，直接返回}int m = x + (y - x) / 2; // 分治第一步：划分成[x,m)和[m,y)int maxs = max(maxSubSum(A, x, m), maxSubSum(A, m, y)); // 分治第二步：递归求解int v, L, R;v = 0; L = A[m - 1]; // 分治第三步：合并(1)，从分界点开始往左的最大连续和Lfor (int i = m - 1; i >= x; i--) {L = max(L, v += A[i]);}v = 0; R = A[m]; // 分治第三步：合并(2),从分界点开始往右的最大连续和Rfor (int i = m; i < y; i++) {R = max(R, v += A[i]);}return max(maxs, L + R); // 把子问题的解与L和R比较}

上述方法有

最后如果给问题加一个条件，为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序和为0.

这里给出上述假设下的联机算法：

int maxSubsequenceSum(const int A[], int N){int thisSum, maxSum, j;thisSum = maxSum = 0;for (int j = 0; j < N; j++) {thisSum += A[j];if (thisSum > maxSum) {maxSum = thisSum;}else if (thisSum < 0) {thisSum = 0;}}return maxSum;}

这个算法附带的优点是，它只对数据进行一次扫描，一旦A[i]被读入并处理，它就不再需要被记忆。因此，如果数组在磁盘或磁带上，它就可以被顺序读入，在主存中不需要存储数组的任何部分。不仅如此，在任意时刻，算法都能对它已经读入的数据给出子序列问题的正确答案（其他算法不具有这个特性）。具有这种特性的算法叫做联机算法（online algorithm）。仅需要常量空间并以线性时间运行的联机算法几乎是完美的算法。