Codeforces 553B Kyoya and Permutation 排列问题

题意：设1 ~ n的一个排列为A1，A2，A3 ...... An，将其表示成循环节的形式可以构造一个新排列。例如：n = 5时，对于排列(1，3，5，2，4)，它表示成循环节的形式为(1)(3542)但是规定循环节长度大于等于1的情况下必须以最大的数字开头写，即应表示成(1)(5423)，那么构造出的新排列为(1，5，4，2，3)。如果构造出的新排列与原排列相同，则称这样的排列是好排列。例如排列(1，3，2，4)按上述规定表示成循环节形式为(1)(32)(4)，构造出的新排列仍为(1，3，2，4)。所以(1，3，2，4)是n = 4时的一个好排列。现在给定n和k，求1 ~ n的按字典序递增的第k个好排列。

看似很复杂，但是在纸上写几个好排列你就发现问题了：

随便写几个，比如(1，3，2，4)，(2，1，4，3)，(1，2，4，3，5，6，8，7)等。你会发现排列里每个位置 i 要么满足A[i] = i，要么满足A[i] = i + 1且A[i + 1]（A[i - 1]） = i。下面我们证明它。

我们假设原排列为A，新排列为B。因为B本来是A的循环节表示，因此我们在B中任取一个长度大于1的循环节作分析：

假设这个循环节的长度大于2，设这个循环节为(i,j,k......)于是有A[i] = j，A[j] = k，即数 j 所在的位置为 i，数 k 所在的位置为 j。又由于i，j，k三个数是连续位置的，所以必有 j = i + 1。但是由于题目规定循环节必须满足从最大的数写起。所以又有i > j，因此i + 1 = j不成立，得出矛盾。所以所有的循环节长度只能是1或2。下面进一步证明长度等于2的循环节里的两个数必须相邻。

假设B中某个循环节为(i,j)，则有A[i] = j，A[j] = i。即数 i 的位置为 j，数 j 的位置为 i。但是注意B排列里 i 和 j 的位置是连续的，因此必有i = j + 1。而这样是可以满足 i > j 的，并不矛盾。

这样，这题找出了规律，接下来就是怎么求第k个排列的问题了。当然，直观上我们觉得如果第k个排列里从左往右看第一次出现交换的两个数为 i 和 i + 1，那么也就是在 i 和 i + 1保持原位的情况下后面的数所有的排列情况的总和是小于k的。于是我们可以先求出长度为n的好排列的个数。设为cnt[n]个。那么很容易用递推的思想求出来：n个数的好排列，如果1不和2换，那么有cnt[n - 1]种好排列。如果1和2换，那么剩下n - 2个数，有cnt[n - 2]种好排列。于是cnt[n] = cnt[n - 1] + cnt[n - 2]。即Fib数列。注意初始项为Fib[1] = 1，Fib[2] = 2。但是这里我们取用Fib[0] = Fib[1] = 1作为前两项，因为Fib[0]在边界计算中会用到。

这样求第k排列就很简单了，从1到n枚举。对当前的i，如果k > Fib[n - i]（即剩下的数所有的排列情况总数小于k）那么此 i 和 i + 1是必须交换的。交换后k -= Fib[n - i]，再往下继续枚举。否则 i 不需要变。这样直到k变为0，得出答案。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <stack>#include <queue>#include <vector>#include <map>#include <set>using namespace std;const int MAX = 100;long long Fib[MAX];int num;void initial(){    Fib[0] = Fib[1] = 1;    for(int i = 2; i < MAX; i++)    {        Fib[i] = Fib[i - 1] + Fib[i - 2];        if(Fib[i] > 1e18)        {            num = i;            break;        }    }}int main(){    initial();    int n;    long long k;    while(scanf("%d%I64d", &n, &k) != EOF)    {        bool start = true;        for(int i = 1; i <= n; i++)        {            if(start)                start = false;            else                printf(" ");            if(k > Fib[n - i])            {                printf("%d %d", i + 1, i);                k -= Fib[n - i];                i++;            }            else                printf("%d", i);        }        printf("\n");    }    return 0;}