动态规划

动态规划（DP）是一种解决复杂问题特别是主问题包含重复子问题的常用算法思想。它将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后再从子问题中得到原问题的解。不同于分治法，动态规划的子问题常常不是互相独立的，下一阶段的求解建立在上一阶段的解的基础上进行的。

利用动态规划求解问题的有效性 依赖于问题本身具有的两个重要性质，也就是如果待解决问题具有以下两个性质，就可以考虑使用动态规划求解。

1 最优子结构：问题的最优解包含了其子问题的最优解。

2 重叠子问题：在求解过程中，如使用递归自顶向下求解问题时，每次产生子问题并不总是新的，有的被重复计算多次，故需要将子问题的解保存下来，供以后直接使用。这种思   想又叫“记表备查”，将求解过程中的最优值保存在决策表中。

求斐波那契数列问题。1 2 3 5 8 13.....    f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)   f(1) = 1, f(2) = 2

   使用递归如下：

int Fbnaci(int n) {    if(n == 1)        return 1;    if(n == 2)        return 2;    if(n > 2)        return Fbnaci(n - 1) + Fbnaci(n - 2);}

上述代码虽然简洁，但是相当费时，因为有着大量重复问题的计算。如计算f(10)需要计算f(9) 和 f(8) 计算f(9)时又需要计算f(8) .使用动态规划的实现如下：

int Fbnaci(int n) {    int i,*a;    if(n==1)        return 1;    if(n==2)        return 2;    if(n>2)    {        a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);        a[0]=1;        a[1]=2;        for(i=2;i<n;i++)            a[i]=a[i-1]+a[i-2];        return a[n-1];        }}

以上代码虽然比前面递归的代码量大，但是使用数组保存了中间结果，以后调用时不必再计算，直接使用数组值就可以，从而大大减少了运算时间。（空间换时间）

求（LCS）最大公共子序列问题。

给定两个字符串，求它们共同的最长子序列，（不一定连续）。

对于字符串 X = {x1,x2,...,xm}, Y = {y1,y2,...,yn } 求 Z = {z1,z2,....zk }  其中 zi 同时在字符串X和Y中，且顺序保持不变。

如 X = “ABCBDAB”  Y="BDCABA "  最长公共子序列为  BCBA 和 BDAB

最优子结构性质：

1 若 x(m) = y(n) 则 z(k) =  x(m) = y(n) 且 {Zk-1} 是 {Xm-1} 和 {Yn-1}的最长公共子序列。

2  若 x(m) != y(n) 且 z(k) != x(m) 则  {Zk} 是{Xm-1}和{Yn} 的最长公共子序列

3 若 x(m) != y(n) 且 z(k) != y(n) 则  {Zk} 是{Yn-1}和{Xm} 的最长公共子序列

简单来说，如果X和Y的最后一个元素相同，则最后一个元素肯定在Z中且是最长子序列的最后一个元素。那么Z的长度为{Xm-1} 和 {Yn-1}的最长公共子序列的长度 + 1

否则最长公共子序列的长度为 ： max{ length(Xm-1,Yn) ,  length(Xm,Yn-1)}

用 数组 c[ i ][  j ]记录X[ 0 ~ i ] 与 Y[ 0 ~ j ] 的最长公共子序列的长度 则：

c[i][j] =  0                                              if  i = 0, j = 0;

 =  c[i-1][j-1] + 1                     else if  xi = yj

 =  max{ c[i][j-1] ,c[i-1][j] }          else if  xi != yj

以  X = “ABCBDAB”  Y="BDCABA " 为例，求得矩阵C如下：(参考算法导论)

其中箭头方向表示当前子问题的解（箭尾） 由上一个子问题（箭头）的最优解得来。

如 c[2][1] = c[1][0] +1 得来；表示i= 2 ,j = 1 时 x2 = y1 = ‘B’ ,则当前子问题最长子序列长度 = 上一子问题最长子序列长度  + 1；其余类似。

具体代码如下：

// Length of LCSint LCSLength(int m,int n,const char x[],char y[]){int i,j;for(i = 1; i <= m; i++)//初始第一行c[i][0] = 0;for(j = 1; j <= n; j++)//初始第一列c[0][j] = 0;for(i = 1; i <= m; i++){for(j = 1; j <= n; j++){if(x[i-1] == y[j-1])  //相等{c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;b[i][j] = 1;}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];b[i][j] = 2;}else{c[i][j] = c[i][j-1];b[i][j] = 3;}}}return c[m][n];} //根据数组b内容打印x和y的最大公共子序列void LCSprint(int i,int j,char x[]){if(i == 0 || j == 0)return;if(b[i][j] == 1){//printf("%c",x[i-1]);LCSprint(i-1,j-1,x);printf("%c",x[i]);}else if(b[i][j] == 2)LCSprint(i-1,j,x);elseLCSprint(i,j-1,x);}

注意以上代码中字符串下标从1 开始。

数塔问题：

给定数字三角形，计算从顶至底的某一条路径使该路径所经过的数字的总和最大。

        

使用二维数组存储上述数据

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

逆向思考，从倒数第二层算起，分别计算每一层所有元素可能达到的最大值，从下往上进行，到第一行时就得到路径最大值。

状态转移方程：C[ i ] [ j ]   + =  max{ C[ i+1] [ j ] ， C[ i+1] [ j +1]  }