概率论札记 - 1 - 构造一个无法成为事件的状态空间子集(不可测集)
来源:互联网 发布:2017年大数据发展报告 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 06:32
概率论里两个很基本的定义如下:
Definition 1 The state space: this is the set of all possible outcomes of the experiment, and it is usually denoted by
Definition 2 The events: An event is a property which can be observed either to hold or not to hold after the experiment is done. In mathematical terms, an event is a subset of
通常情况下,令
下面就构造一个例子——
我们设计这样一个实验:随机从区间
[−1,2] 中间选取点。
我们将构造一个集合——它是[−1,2] 的子集但它不是事件(即我们无法给这个事件赋予一个概率)。
首先我们在[0,1] 上定义一个等价关系:x∼y 当x−y 是有理数的时候。令Q={r1,r2,...} 为[−1,1] 中所有有理数的集合。因此,当x−y∈Q ,x∼y 是一个等价关系,它的对称性、自反性和传递性很容易证明。
既然它是一个等价关系,[0,1] 区间就可以被分割为一些等价类Λα 。于是,当x,y∈Λα ,x−y∈Q 。所以对于任意一个α 来说,Λα 都是可数的。但是由于⋃αΛα=[0,1] 是不可数的,因此Λα 的数量是不可数的。我们从每个Λα 中取1个元素组成集合E ,E 的存在性由选择性公理保障。接下去我们将用反证法证明E 不是一个事件。
假设E 是一个事件,令p 是它发生的概率。对于任意一个正整数n ,令En={rn+x:x∈E}⊆[−1,2] ,En 也是一个事件,且P(En)=P(E)=p .
我们还可以观察到两件事:(1) 对于n≠m,En∩Em=∅ , (2)[0,1]⊂⋃∞n=1En .
证(1):假如t∈En∩Em,n≠m ,那么就存在rn,rm∈Q,x,y∈E,x≠y ,我们有t=rn+x=rm+y ,也就是x−y=rm−rn 是有理数,这样一来x∼y , 但又由于x,y∈E,x≠y ,所以这是不可能的。因此En∩Em=∅ .
证(2):∀x∈[0,1] ,我们要证明x∈⋃∞n=1En . 必然存在一个y∈E 使得x∼y ,那么x−y∈Q , 于是
x−y=rn⇒x=rn+y⇒x∈⋃n=1∞En
把以上两点结合到一起,我们可以得到
13=P([0,1])≤P(⋃n=1∞En)≤1
也就是
13≤∑n=1∞P(En)=∑n=1∞p≤1
这是不可能的,因为∑n=1∞p 要么是0,要么是无穷大。因此E 不可能是一个事件,因为我们无法给它赋予一个发生的概率。
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