构造不可测集-Vitalie Set

我在这篇文章中主要通过构造Vitalie Set来得到一个不可测集（第一次写关于数学的文章，感觉真的蛮难的）。主要参考http://blog.pluskid.org/?p=765，这篇文章写的更好，推荐一下。
还有wiki上的一些内容：https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set

思路：先通过等价类来得到一个集合，这里用了一个选择公理，我不是很理解。然后通过假设这个集合可测，使用两种推论方法，得到测度不相同，使用反证法可得假设错误，也就是集合不可测。

1. 等价类定义
   if x-y = q , q ∈ Q
   then 称x,y 等价,记为x~y。
   称 [x] = { y∈R：y~x}为x的等价类。

2. 构造不可测集（Vitalie Set）
   在[0,1]上，从每个等价类中取一个元素，构成集合V。

3. 证明Vitalie Set 不可测。
   设Qa ={q: Q ∩ [-1,1]},显然Qa是可列集。（有理数集就是可列集）

   设Vk = { v+qk: v∈V}。
   因为Vk是可列可加的，所以有
   
   因为 是可测的，所以当 =0时， = 0，当 为大于0的数时， =无穷 ——–conclusion1
   但是我们可以证明 是1~3之间的一个值（如果当 是可测的）。
   推导
   对于任意x∈[0,1]，x∈Vk。因为V内必有一个x的等价类，记为y，y - x = q ∈ [-1,1],那么x∈Vk。又显然∈[-1,2]。所以 的测度为1~3之间，这与上面的结论矛盾，所以假设错误，即Vitalie Set 不可测。