hdu5275 (插值法)

首先要明确，所谓插值，就是多项式的点值表达式转系数表达式。
对于n个x不相同的点(xi,yi),可以唯一确定一个阶为n的多项式

y=c0+c1∗x+c2∗x2+c3∗x3+...+cn−1∗xn−1

一般的，有两种常用的插值方法：
1.拉格朗日插值法
直接构造多项式

y=∑k=0n−1yk∏j≠k(xj−xk)∏j≠k(x−xj)

简单粗暴，证明只需要把x0,x1,..xn−1带入，看对应y值是否与给定的相同就可以了
2.牛顿插值
虽然拉格朗日插值法比较简单也便于记忆，但对于一些要对子串进行插值的题目，牛顿插值显然更加方便
令

y=c0+c1∗(x−x0)+c2∗(x−x1)∗(x−x0)+...cn−1∗(x−x0)∗...∗(x−xn−2)

注意对于x0,x1..xn−1进行插值，上式并不包含xn−1,而计算c0,c1...cn−1的方法就是分别把(x0,y0),(x1,y1)...(xn−1,yn−1)代入，看上去很麻烦，但是引入差商表之后，ci的计算显得异常容易。
定义

xi的0阶差商为yi,xi的k阶差商f(i,k)=f(i+1,k−1)−f(i,k−1)xi+k−xi

根据定义进行计算可以发现c0,c1...ci其实就是f(0,0),f(0,1)...f(0,i)
更进一步的，假如你想对(xl,yl),(xl+1,yl+1)...(xr,yr)
对应插值所得的系数就是f(l,0),f(l,1)...f(l,r−l)

对于上面插值的理解，可以参考我hdu5275的代码
首先是很适合给子串插值的牛顿插值

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long Int;const int M=1e9+7;int rev[250002];int dp[3002][3002];int x[3002],y[3002];inline int getrev(int x){return x<0?-rev[-x]:rev[x];}int main(){    rev[1]=1;    for(int i=2;i<=250000;i++)rev[i]=(M-M/i)*(Int)rev[M%i]%M;    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);        for(int i=1;i<=n;i++)dp[0][i]=y[i];        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j+i<=n;j++)                dp[i][j]=((dp[i-1][j+1]-dp[i-1][j])*(Int)getrev(x[i+j]-x[j])%M+M)%M;        int m;scanf("%d",&m);        while(m--)        {            int l,r,q;scanf("%d%d%d",&l,&r,&q);            int ans=0,cur=1;            for(int i=0;i<=r-l;i++)            {                ans+=dp[i][l]*(Int)cur%M;                if(ans>=M)ans-=M;                cur=(cur*(Int)(q-x[l+i])%M+M)%M;            }printf("%d\n",ans);        }    }}

然后是拉格朗日插值法，对于本题需要一些观察和技巧

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int Maxn=3002,M=1e9+7;typedef long long Int;int x[Maxn],y[Maxn];int n,m;int dp[Maxn][Maxn];int rev[250002],frev[250002];int powmod(int x,int y){    int t=x,ret=1;    while(y)    {        if(y&1)ret=ret*(Int)t%M;        y>>=1;        t=t*(Int)t%M;    }    return ret;}inline int getrev(int x){    if(x<0)return frev[-x];    return rev[x];}int main(){    for(int i=1;i<=250000;i++)rev[i]=powmod(i,M-2),frev[i]=powmod(M-i,M-2);    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);        scanf("%d",&m);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            dp[i][i]=1;            for(int j=i-1;j>=1;j--)dp[i][j]=dp[i][j+1]*(Int)getrev(x[i]-x[j])%M;            for(int j=i+1;j<=n;j++)dp[i][j]=dp[i][j-1]*(Int)getrev(x[i]-x[j])%M;        }        while(m--)        {            int l,r,q;            scanf("%d%d%d",&l,&r,&q);            int cs=-1,ans=0;            int tot=1;            for(int i=l;i<=r;i++)            {                if(x[i]!=q)tot=((q-x[i])*(Int)tot%M+M)%M;                else{cs=i;}            }            if(cs!=-1)            {                ans=y[cs]*(Int)dp[cs][l]%M*dp[cs][r]%M*tot%M;            }            else            {                for(int k=l;k<=r;k++)                {                    ans+=y[k]*(Int)dp[k][l]%M*dp[k][r]%M*tot%M*getrev(q-x[k])%M;                    if(ans>=M)ans-=M;                }            }printf("%d\n",ans);        }    }}