插值法

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插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

中文名

插值法

类    型

概念

类    别

定律

别    称

内插法

目录

1. 1 Lagrange插值
2. 2 Newton插值
3. 3 Hermite插值
4. 4 分段插值
5. 5 样条插值

Lagrange插值

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Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题。

★基本思想　将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。

Newton插值

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Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。

★基本思想　将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件⑴确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。

Hermite插值

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Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的，其提法为：给定n+1个互异的节点x0,x1，……,xn上的函数值和导数值求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件

H2n+1(xk)=yk

H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀

如上求出的H2n+1(x）称为2n+1次Hermite插值函数，它与被插函数一般有更好的密合度.

★基本思想

利用Lagrange插值函数的构造方法，先设定函数形式，再利用插值条件⒀求出插值函数.

分段插值

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插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数

在[-5，5]上的n+1个等距节点：计算出f(

  

）后得到Lagrange插值多项式

  

(x)，考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算

  

(x),

  

(x）及对应的误差

  

(x），得下表

从表中可知，随节点个数n的增加，误差l

  

(x)l不但没减小，反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式，此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.

分段多项式插值的定义为

定义2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1个节点 并给定在这些节点 上的函数值f(

  

)=

  

R=0,1，…，n

如果函数Φ（x）满足条件

i) Φ（x）在[a,b]上连续

ii) Φ（

  

)=

  

,R =0,1，…，n

iii) Φ（x)在每个小区间[

  

,

  

]是m次多项式，

R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f(x）在[a,b]上的分段m次插值多项式

实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x)

在节点上与被插值函数f(x）有相同的导数值，即

★基本思想　将被插值函数f〔x〕的插值节点 由小到大 排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m 次多项式去近似f〔x〕.

例题

例1 已知f（x）=ln（x）的函数表为：

试用线性插值和抛物线插值分别计算f（3.27）的近似值并估计相应的误差。

解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为3.27

  

（3.2，3.3），故选

  

=3.2，

  

=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有

所以有，为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为

  

=3.2,

  

=3.3,

  

=3.4，由n=2的lagrange插值公式有

故有

所以线性插值计算ln3.27的误差估计为

故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为：

显然抛物线插值比线性插值精确。

样条插值

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样条插值是一种改进的分段插值。

定义 若函数在区间〖a，b〗上给定节点a=x0<x1<；…<xn=b及其函数值yj，若函数S（x）满足

⒈ S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；

插值法主要用于道路桥梁，机械设计，电子信息工程等 很多工科领域的优化方法