动态规划

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爬楼梯

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
为了熟悉动态规划的思维过程，我们先假装不知道这是斐波那契数列。设楼梯有n阶，则有f(n)种走法，显然有
f(1)=1
f(2)=2
当有n级台阶时，若我们第一步 走1级，还剩n-1级台阶要走，这n-1级台阶有f(n-1)种走法；若第一步走2级，还剩n-2级台阶要走，这n-1级台阶有f(n-2)种走法；因此
f(n)=f(n−1)+f(n−2)
这不就是斐波那契数列吗？
递归代码

def climb_stairs(n)    return 1 if n == 1    return 2 if n == 2    climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2)end

算法是没错的，只是结果超时，好多计算都重复了，写成累加的就AC了

def climb_stairs(n)    return 1 if n == 1    return 2 if n == 2    n1, n2, i= 1, 2, 2    (n - 2).times do n1, n2 = n2, n1 + n2 end    n2end

还可以这么写，能短2行，意思其实是一样的。

def climb_stairs(n)    a = b = 1    n.times do a, b = b, a+b end    aend

Climbing Stairs

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抢劫房子

题目:某天夜里，劫匪将在这条街抢劫，这条街上的每间房子都有不少钱，但是一旦抢了相邻的房子，就会自动触发警局里的警报。在不让警报响起的情况下最多能抢到多少钱。
其实就是给你一个序列，在这个序列中找出一个不相邻的子序列并使之和最大，求出这个和。

思路:一道典型的通过递推求解的动态规划问题，关键在于找出递推关系式。设f(n)是长度为n的数列 {an} 的不连续子序列的和最大值, 如果没有不允许相邻这个限制，显然有
f(n)=f(n−1)+an
加上不允许相邻这个条件后，子序列取an便不能取an−1, 那么取an时只能有
f(n)=f(n−2)+an
子序列不取an时自然有
f(n)=f(n−1)
为了使f(n)最大，取两者之大者即可。则有

f(1)=a1
f(2)=max(a1,a2)
f(n)=max(f(n−1),f(n−2)+n),n>2

# Ruby# @param {Integer[]} nums# @return {Integer}def rob(nums)    size = nums.size    case size    when 0        return 0    when 1        return nums[0]    when 2        return nums.max    else        res = [nums[0], [nums[0], nums[1]].max]        (2...size).each do |i| res << [res[i-1], res[i-2] + nums[i]].max end        return res[size - 1]    endend

House Robber

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