线性代数

（一）行列式

1.排列

（1）定义：由1，2，...，n组成的一个有序数组称为一个n级排列；

（2）n级排列的个数有n！个；

（3）在一个排列中，如果某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总数成为该排列的逆序数；

（4）排列记为：

排列的逆序数记为：

那么：

（5）逆序数为奇数（偶数）的排列称为奇（偶）排列；

          交换排列中某两个位置上的数，称为对换；

          对换改变排列的奇偶性；

2.行列式的定义

（1）行列式可记为：

（2）行列式的计算：

3.行列式的性质

（1）上三角行列式，下三角行列式，对角线行列式的值等于主对角线上的元素相乘；

（2）行列互换，行列式不变；

（3）互换行列式的两行（列），行列式变号；

（4）某行（列）的各元素如有公因数k，则可将k提出行列式符号外；

（5）行列式遵循某行（列）加法规则；

（6）若有某一行或者某一列全为0，则行列式的值为0；

4.按行（列）展开定理

（1）划去n阶行列式中元素aij所在的行和列，剩下的（n-1）*（n-1）个元素按原来的顺序构成的（n-1）阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij；

（2）代数余子式记为：

（3）按行列展开定理如下：

（二）矩阵

1.矩阵运算

2.逆：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，其中E表示单位矩阵，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵；

3.秩：如果矩阵A中存在某一r阶子式不等于0，所有高于r阶子式全为0，则称矩阵A的秩为r；（在矩阵A中，任意取定k行和k列，位于交叉点处的k*k个元素按原来位置构成的k阶行列式称为A的k阶子式）

4.初等变换：交换矩阵的第 i 行（列）与第 j 行（列）元素；把矩阵的第 i 行（列）每一元素乘以非零数k；把矩阵第 j 行（列）元素的 k 倍加到第 i 行（列）对应的元素上；（初等变换不改变矩阵的秩也不改变行列式的非零性）

5.矩阵的秩跟逆可以通过矩阵的初等变换来求解，但计算量较大，实际应用中有现成的计算工具；

6.奇异矩阵（退化矩阵）：矩阵的某一列可以表示成其他列的线性组合，也就是说可以把某一列通过初等变换归为0；

7.求逆的矩阵必须是非奇异的，因为奇异矩阵的行列式为0，会导致求逆时出现除0操作；也就是说求逆的矩阵必须是满秩的；

8.正交矩阵：，称A为正交矩阵；

9.矩阵分解

（1）特征值分解：设B为n阶方阵，如果存在数a以及n维列向量x，满足Bx=ax；则称x为特征向量，a为特征值；所以有B = X*A*X'；

（2）奇异值分解：设B为m*n阶矩阵，则B = U*A*V‘，其中U为左奇异矩阵（m*m），A为奇异值矩阵（m*n），V为右奇异矩阵（n*n）； 

                                   低阶近似：B=U*S*V‘，其中A（m*k），S（k*k），V（n*k）；

10正定矩阵

（1）概念：一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0；其中zT表示z的转置；

（2）判定：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正；

11.半正定矩阵：将正定矩阵的约束弱化为zTMz≥0；

（三）线性方程组

1.线性方程组

（1）X表示未知数，A表示系数矩阵，b表示常数项，则AX = b

（2）若b均为0，则称为齐次线性方程组；

（3）齐次线性方程组总有零解；

（4）若系数矩阵A对应的行列式不等于0，则线性方程组有唯一解；

（5）若齐次线性方程组有非零解，则A对应的行列式必为0；

2.对于n元线性方程组AX = b，增广矩阵为B = （A，b）

（1）若A的秩小于B的秩，则无解；

（2）若A的秩等于B的秩且都等于n，则有唯一解；

（3）若A的秩等于B的秩且小于n，则有无限多解；

（四）向量组的线性相关

1.若有向量组a1，a2，...，am与向量b，b能够由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A = （a1，a2，...，am）与矩阵B = （A，b）的秩相等；

2.若有向量组a1，a2，...，am与向量组b1，b2，...，bn，b1，b2，...，bn能够由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A = （a1，a2，...，am）与矩阵B = （A，b1，b2，...，bn）的秩相等；

3.向量组a1，a2，...，am线性相关的充分必要条件是矩阵A = （a1，a2，...，am）的秩小于向量个数m；线性无关的充分必要条件就是A的秩等于m；