1、行列式
行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的（以后常把一次方程组称为线性方程组），例如对于一个二元一次方程组
红色字体
{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2
当
a11a22−a12a21≠0时，用消元法求解，其解为:
x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21,x2=a11b2−b1a21a11a22−a12a21
如果记：
D=∣∣∣acbd∣∣∣
则上面的式子可以表示为:
x1=∣∣∣b1b2a12a22∣∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣,x2=∣∣∣a11a21b1b2∣∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣
我们把上式中的D叫做二阶行列式。
由n2个数aij(i,j=1,2,⋯,n)组成的n阶行列式
D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann∣∣∣∣∣∣
是一个算式。当
n=1时，定义
D=|a11|=a11；当
n≥2时，定义
D=a11A11+a12A12+⋯+a1nA1n=∑j=1na1jA1j
其中
A1j=(−1)1+jM1j，
M1j是D中去掉第1行第
j列全部元素后，按原顺序排成的
n−1阶行列式，即
M1j=∣∣∣∣∣∣a21a31⋯an1⋯⋯⋯⋯a2j−1a3j−1⋯anj−1a2j+1a3j+1⋯anj+1⋯⋯⋯⋯a2na3n⋯ann∣∣∣∣∣∣(j=1,2,⋯,n)
并称
M1j为元素
a1j 的
余子式，
A1j为元素
a1j的
代数余子式矩阵
消元法的基本思想是通过消元变形把方程组化简成容易求解的同解方程组，如对下面的线性方程组通过消元法化简
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2x1−2x2 +6x4=−22x1−x2+2x3+4x4=−23x1−x2+4x3+4x4=−35x1−3x2+x3+20x4=−2
通过化简可以得到：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x1−x2 +3x4=−1 x2+2x3−2x4=0 x3−3x4=−1 x4=0
数域Ｆ中ｍｘｎ个数aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成m行n列，并以圆括弧（或方括弧）的数表
⎛⎝⎜⎜⎜a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann⎞⎠⎟⎟⎟
称为数域F上的
mxn矩阵，通常用大写字母记做
A或
Am×n有时也记做
A=(aij)m×n，
其中
aij称为矩阵
A的第
i第
j列元素，
当
aij∈R（实数域）时，
A称为实矩阵；
当
aij∈C（复数域）时，
A称为复矩阵；
当
m×n个元素全部为零时，该矩阵叫做零矩阵，记做
0；
当
m=n时，称
A为
n阶矩阵（或者
n阶方阵）
内积
1、设α⃗ ={a1,a2,⋯,an}T和β⃗ ={b1,b2,⋯,bn}T∈Rn,规定α⃗ 和β⃗ 的内积为:
(α⃗ ,β⃗ )=a1b1+a2b2+⋯+anbn
当
α⃗ ,β⃗ 为列向量时，
(α⃗ ,β⃗ )=α⃗ Tβ⃗ =β⃗ Tα⃗ ;
2、向量
α⃗ 的长度
||α⃗ ||=(α⃗ ,α⃗ )−−−−−√ 3、向量
α⃗ ,β⃗ 之间的夹角定义为:
<α⃗ ,β⃗ >=arccos(α⃗ ,β⃗ )||α⃗ ||||β⃗ ||
4、非零向量
α⃗ 和
β⃗ 正交（或垂直）的充分必要条件是
(α⃗ ,β⃗ )=0
