最长公共子序列

一个字符串S，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。

寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。

使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

如果Xm=Yn，则LCS ( X,Y ) = Xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。
如果Xm!=Yn，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }

LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS，等等.

DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为

dp[i][j] = 0  如果i=0或j=0dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  如果X[i-1] = Y[i-1]dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }  如果X[i-1] != Y[i-1]

实现

int dp[21][21]; /* 存储LCS长度, 下标i,j表示序列X,Y长度 */char X[21];char Y[21];/* dp[0-Xlen][0] & dp[0][0-Ylen] 都已初始化0 */    for(i = 1; i <= Xlen; ++i)    {        for(j = 1; j <= Ylen; ++j)        {            if(X[i-1] == Y[j-1])            {                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;            }else if(dp[i][j-1] > dp[i-1][j])            {                dp[i][j] = dp[i][j-1];            }else            {                dp[i][j] = dp[i-1][j];            }        }    }cout << "len of LCS is: " << dp[Xlen][Ylen] << endl;

对于上述方式，我们可以逆序求出可能的LCS组合。因为使用的辅助数组只使用两行即可，因此可以使用滚动数组。

for(i = 1; i <= xlen; ++i)    {        k = i & 0x01; // k为0或1        for(j = 1; j <= ylen; ++j)        {            if(X[i-1] == Y[j-1])            {                dp[k][j] = dp[k][j-1] + 1;            }else if(dp[k][j-1] > dp[k^1][j])            {                dp[k][j] = dp[k][j-1];            }else            {                dp[k][j] = dp[k][j];            }        }    }