数据结构(五)---图：

①图的定义

图是由顶点集合(Vertex)及顶点间的关系集合组成的一种数据结构。

②图的操作

图的一些常用操作：创建图、销毁图、清空图、加入边、删除边、获取权、获取结点的度、获取图的结点数、获取图的边数。

③图的存储结构

1、邻接矩阵法：

基本思想：
用一维数组存储顶点 – 描述顶点相关的数据。
用二维数组存储边 – 描述顶点间的边。

无向图的邻接矩阵是对称的。
有向图的邻接矩阵可能是不对称的。

邻接矩阵法实现图结构：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <curses.h> typedef char VertexType;                //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;                   //边上的权值类型应由用户定义 #define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义#define INFINITY    65535               //用65535来代表无穷大#define DEBUG typedef struct{    VertexType vexs[MAXVEX];            //顶点表    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX];         //邻接矩阵，可看作边    int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数}Graph; //定位int locates(Graph *g, char ch){    int i = 0;    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        if(g->vexs[i] == ch)        {            break;        }    }    if(i >= g->numVertexes)    {        return -1;    }         return i;} //建立一个无向网图的邻接矩阵表示void CreateGraph(Graph *g){    int i, j, k, w;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));         #ifdef DEBUG    printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        g->vexs[i] = getchar();        while(g->vexs[i] == '\n')        {            g->vexs[i] = getchar();        }    }         #ifdef DEBUG    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("%c ", g->vexs[i]);    }    printf("\n");    #endif      for(i = 0; i < g->numEdges; i++)    {        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)        {            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化        }    }    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        char p, q;        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");                 p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        scanf("%d", &w);                     int m = -1;        int n = -1;        m = locates(g, p);        n = locates(g, q);        if(n == -1 || m == -1)        {            fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");            return;        }        //getchar();        g->arc[m][n] = w;        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称    }} //打印图void printGraph(Graph g){    int i, j;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)        {            printf("%d  ", g.arc[i][j]);        }        printf("\n");    }} int main(int argc, char **argv){    Graph g;         //邻接矩阵创建图    CreateGraph(&g);    printGraph(g);    return 0;}

2、邻接链表法：

基本思想：
从同一个顶点发出的边链接在同一个链表中。

每一个链表结点代表一条边, 结点中保存边的另一顶点的下标和权值。

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
邻接表的处理方法是这样的：

（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。

（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

/* 邻接表表示的图结构 */#include <stdio.h>#include<stdlib.h> #define DEBUG#define MAXVEX 1000         //最大顶点数typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义 typedef struct EdgeNode         //边表结点{    int adjvex;         //邻接点域，存储该顶点对应的下标    EdgeType weigth;        //用于存储权值，对于非网图可以不需要    struct EdgeNode *next;      //链域，指向下一个邻接点}EdgeNode; typedef struct VertexNode       //顶点表结构{    VertexType data;        //顶点域，存储顶点信息    EdgeNode *firstedge;        //边表头指针}VertexNode, AdjList[MAXVEX]; typedef struct{    AdjList adjList;    int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数}GraphList; int Locate(GraphList *g, char ch){    int i;    for(i = 0; i < MAXVEX; i++)    {        if(ch == g->adjList[i].data)        {            break;        }    }    if(i >= MAXVEX)    {        fprintf(stderr,"there is no vertex.\n");        return -1;    }    return i;} //建立图的邻接表结构void CreateGraph(GraphList *g){    int i, j, k;    EdgeNode *e;    EdgeNode *f;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);         #ifdef DEBUG    printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif         for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("请输入顶点%d:\n", i);        g->adjList[i].data = getchar();          //输入顶点信息        g->adjList[i].firstedge = NULL;          //将边表置为空表        while(g->adjList[i].data == '\n')        {            g->adjList[i].data = getchar();        }    }    //建立边表    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");        char p, q;        p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        int m, n;        m = Locate(g, p);        n = Locate(g, q);        if(m == -1 || n == -1)        {            return;        }        #ifdef DEBUG        printf("p = %c\n", p);        printf("q = %c\n", q);        printf("m = %d\n", m);        printf("n = %d\n", n);        #endif             //向内存申请空间，生成边表结点        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if(e == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        //邻接序号为j        e->adjvex = n;        //将e指针指向当前顶点指向的结构        e->next = g->adjList[m].firstedge;        //将当前顶点的指针指向e        g->adjList[m].firstedge = e;                 f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if(f == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        f->adjvex = m;        f->next = g->adjList[n].firstedge;        g->adjList[n].firstedge = f;    }}  void printGraph(GraphList *g){    int i = 0;    #ifdef DEBUG    printf("printGraph() start.\n");    #endif         while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)    {        printf("顶点:%c  ", g->adjList[i].data);        EdgeNode *e = NULL;        e = g->adjList[i].firstedge;        while(e != NULL)        {            printf("%d  ", e->adjvex);            e = e->next;        }        i++;        printf("\n");    }} int main(int argc, char **argv){    GraphList g;    CreateGraph(&g);    printGraph(&g);    return 0;}

④图的遍历

定义：
从图中的某一顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，使得每个顶点仅被访问一次。
分类：
深度优先搜索 DFS (Depth First Search)
广度优先搜索 BFS (Breadth First Search)

深度优先遍历：

关键：
整个过程需要一个标记顶点是否被访问过的辅助数组visited[]

1、深度优先遍历：
算法描述：
访问起始顶点v，当v还有邻接顶点未访问时，深度遍历未访问过的邻接顶点w，当v的所有邻接顶点都被访问时
若图中所有顶点均已访问，算法结束。若图中还有未访问的顶点、以未访问顶点作为起始顶点深度遍历。

深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。

它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。

邻接矩阵的方式：

#define MAXVEX  100     //最大顶点数typedef int Boolean;            //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSEBoolean visited[MAXVEX];        //访问标志数组#define TRUE 1#define FALSE 0 //邻接矩阵的深度优先递归算法void DFS(Graph g, int i){    int j;    visited[i] = TRUE;    printf("%c ", g.vexs[i]);                           //打印顶点，也可以其他操作    for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)    {        if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])        {            DFS(g, j);                  //对为访问的邻接顶点递归调用        }    }} //邻接矩阵的深度遍历操作void DFSTraverse(Graph g){    int i;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态    }    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次        {            DFS(g,i);        }    }}

//邻接表的深度递归算法void DFS(GraphList g, int i){    EdgeNode *p;    visited[i] = TRUE;    printf("%c ", g->adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作    p = g->adjList[i].firstedge;    while(p)    {        if(!visited[p->adjvex])        {            DFS(g, p->adjvex);           //对访问的邻接顶点递归调用        }        p = p->next;    }} //邻接表的深度遍历操作void DFSTraverse(GraphList g){    int i;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])        {            DFS(g, i);        }    }}

广度优先遍历：

关键：

整个过程需要一个标记顶点是否被访问过的辅助数组visited[]

广度优先遍历：
算法描述：访问起始顶点v0、依次访问v0的各个邻接点v01,v02,…,v0x、假设最近一次访问的顶点依次为vi1,vi2,…,viy,则依次访问vi1,vi2,…,viy的未被访问的邻接点、重复3,直到所有顶点均被访问。

提示：
广度优先遍历是一种层次遍历，需要借助队列实现。

//邻接矩阵的广度遍历算法void BFSTraverse(Graph g){    int i, j;    Queue q;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    InitQueue(&q);    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环    {        if(!visited[i])               //若是未访问过        {            visited[i] = TRUE;            printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作            EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列            while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列，赋值给            {                int m;                DeQueue(&q, &m);                        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)                {                    //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过                    if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])                    {                        visited[j] = TRUE;                        printf("%c ", g.vexs[j]);                        EnQueue(&q, j);                    }                }            }        }    }}

//邻接表的广度遍历算法void BFSTraverse(GraphList g){    int i;    EdgeNode *p;    Queue q;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    InitQueue(&q);    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])        {            visited[i] = TRUE;            printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作            EnQueue(&q, i);            while(!QueueEmpty(q))            {                int m;                DeQueue(&q, &m);                p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针                while(p)                {                    if(!visited[p->adjvex])                    {                        visited[p->adjvex] = TRUE;                        printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);                        EnQueue(&q, p->adjvex);                    }                    p = p->next;                }            }        }    }}

⑤最小连通网

1、Prim算法是针对顶点展开的，适合于边的数量较多的情况。
2、Kruskal算法是针对边展开的，适合于边的数量较少的情况。

⑥最短路径

最短路径问题：
最短路径问题：如果从有向图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条，如何找到一条的路径可能不止一条，如何找到一条。
路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。
路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。

问题解法
单源最短路径问题：
1、Dijkstra算法
所有顶点之间的最短路径：
2、Floyd算法