最大K乘积

最大K乘积的问题：

在一个长度为N的数字串中插入K-1个乘号,将N分成K部分，找出一种分法，使得这K个部分的最大乘积最大。

例如有一个数字串：312，当N=3，K=2时会有以下几种分法：

3*12=36   31*2=62

但是符合题目的是31*2=62，通过这个例子很明显的可以看出最大k乘积的问题，就是求一个数，将其分成k段，求出段相乘的最大值问题。

 

要求解此问题要用到动态规划的思想，在这里要用到两个数据来分别表示不同的含义

w(h1,h2)表示第h1位到第h2位所组成的十进制数（h2.>h1)

m(i,j)表示：前i位（从1.......N）分成j段所得的最大乘积，则可得到如下的DP方程

if(j==1)   m(i,1)=w(1,i);

if(j>=1&&j<k)

  m(i,j)=max{ m(d,j-1)*w(d+1,i)(1<d<i) }

else if(i<j)   m(i,j)=0;

 

这是一个动态规划的式子。

 

这里是java实现的主要代码：

/** * 对得到的数组进行处理，得到最大K乘积 */private void maxValue() {int size = num.length;/** *  先把value[i][j]初始化，其代表的是从i开始到j所代表的的整数i<j */for (int i = 0; i < size; i++) {value[i][i] = num[i];for (int j = i + 1; j < size; j++) {value[i][j] = value[i][j - 1] * 10 + num[j];}}/** * 初始化maxValue第一列,即前i+1位，分成1段所得的最大乘积 * 初始化bit第一行和第一列，即当前i+1位分成1段时最后一个乘号的位置，和第一位分成i+1段时最后一个乘号出现的位置，都将他们的初始化为零 */for (int i = 0; i < size; i++) {maxValue[i][0] = value[0][i];bit[0][i] = 0;bit[i][0] = 0;}// 关键代码得maxValue[i][j]的值，即前i+1位分成j+1段时的最大乘积（因为下表从零开始）for (int i = 1; i < size; i++) {//分成二段到intDuan段for (int j = 1; j < intDuan; j++) {int max = 0;int index = 0;/** * 找出从前1位到前i-1位分成j-1段时的值与后面的值相乘得到的最大值 * 公式：m(i,j)=max{m(d,j-1)*w(d+1,i)}  (1<d<i) */for (int k = 0; k < i; k++) {if (maxValue[k][j - 1] * value[k + 1][i] > max) {max = maxValue[k][j - 1] * value[k + 1][i];index = k + 1;}}//得到最大的乘积时，最后一个乘号的位置bit[i][j] = index;maxValue[i][j] = max;}}}

 

 

 

 

全部的代码：

 

package 动态规划;import javax.swing.JOptionPane;/** * 求最大K乘积 *  * @author ZDX *  */public class MaxK {int[] num;int[][] value;// 用来记录最大k乘积int[][] maxValue;// 用来存储用户输入的分成的分数int intDuan;// 用来记录乘号最后出现的位置int[][] bit;int result;public MaxK() {// 得到要处理的字符串String strNum = "";while (strNum == null || strNum.equals("")) {strNum = JOptionPane.showInputDialog(null, "请输入要进行分解的整数");}// 将字符串转化为字节数组byte[] bt = strNum.getBytes();// 初始化num = new int[bt.length];value = new int[bt.length][bt.length];maxValue = new int[bt.length][bt.length];bit = new int[bt.length][bt.length];// 将得到的字节数组转化为整数数组for (int i = 0; i < bt.length; i++) {num[i] = bt[i] - 48;}strNum = "";while (strNum == null || strNum.equals("")) {strNum = JOptionPane.showInputDialog(null, "请输入要分成的段数：");}intDuan = Integer.parseInt(strNum);maxValue();}/** * 对得到的数组进行处理，得到最大K乘积 */private void maxValue() {int size = num.length;/** *  先把value[i][j]初始化，其代表的是从i开始到j所代表的的整数i<j */for (int i = 0; i < size; i++) {value[i][i] = num[i];for (int j = i + 1; j < size; j++) {value[i][j] = value[i][j - 1] * 10 + num[j];}}/** * 初始化maxValue第一列,即前i+1位，分成1段所得的最大乘积 * 初始化bit第一行和第一列，即当前i+1位分成1段时最后一个乘号的位置，和第一位分成i+1段时最后一个乘号出现的位置，都将他们的初始化为零 */for (int i = 0; i < size; i++) {maxValue[i][0] = value[0][i];bit[0][i] = 0;bit[i][0] = 0;}// 关键代码得maxValue[i][j]的值，即前i+1位分成j+1段时的最大乘积（因为下表从零开始）for (int i = 1; i < size; i++) {//分成二段到intDuan段for (int j = 1; j < intDuan; j++) {int max = 0;int index = 0;/** * 找出从前1位到前i-1位分成j-1段时的值与后面的值相乘得到的最大值 * 公式：m(i,j)=max{m(d,j-1)*w(d+1,i)}  (1<d<i) */for (int k = 0; k < i; k++) {if (maxValue[k][j - 1] * value[k + 1][i] > max) {max = maxValue[k][j - 1] * value[k + 1][i];index = k + 1;}}//得到最大的乘积时，最后一个乘号的位置bit[i][j] = index;maxValue[i][j] = max;}}        /**         * 输出将前i位分成j段时所得到的最大值maxValue[i][j]一一输出         * result最终得到的是该数分成intDuan段相乘的最大值         */for (int i = 0; i < size; i++) {for (int j = 0; j < intDuan; j++) {System.out.print(maxValue[i][j] + "   ");result = maxValue[i][j];}System.out.println();}/** * 输出将前i位分成j段相乘的最大值时最后一个乘号的位置 */for (int i = 0; i < size; i++) {for (int j = 0; j < intDuan; j++) {System.out.print(bit[i][j] + "   ");}System.out.println();}/** * 得到最终的相乘形式，例:23*41 */String strOutput = "";int i = size - 1;int j = intDuan - 1;while (j > 0) {System.out.println(bit[i][j]);strOutput = "*" + value[bit[i][j]][i] + strOutput;/** * value[bit[i][j]][i]表示的是从最后一个乘号到最后一位的值。这是一个迭代的过程， * 当下一次时原本的数据会将value[bit[i][j]][i]从启辰上去除，再进行处理 * 例：数据2341，分成三（j=2，j从0开始计数）段，则最大相乘形式为2*3*41，最后一位的下表（从零开始）i=3后一个乘号出现的位置是bit[i][j]=2，则value[bit[i][j]][i]=41， * 则下次对其进行处理的时候是23,剩下的是将其分成两段（j=1)，则i=1,即i=bit[i][j]-1; */i = bit[i][j] - 1;j--;}//将最前面的一个数字加到字符串上strOutput = value[0][i] + strOutput;JOptionPane.showMessageDialog(null, "最大" + intDuan + "乘积为:" + result+ "\n相乘格式为： " + strOutput, "结果", 1);}public static void main(String[] args) {new MaxK();}}

 测试如下：