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在二维平面上的n个点中，如何快速的找出最近的一对点，就是最近点对问题。

    一种简单的想法是暴力枚举每两个点，记录最小距离，显然，时间复杂度为O(n^2)。

    在这里介绍一种时间复杂度为O(nlognlogn)的算法。其实，这里用到了分治的思想。将所给平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果这两个点分别在S1和S2中，问题就变得复杂了。

    为了使问题变得简单，首先考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1，x2，...，xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。显然可以先将点排好序，然后线性扫描就可以了。但我们为了便于推广到二维的情形，尝试用分治法解决这个问题。

    假设我们用m点将S分为S1和S2两个集合，这样一来，对于所有的p(S1中的点)和q(S2中的点)，有p<q。

    递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设

d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }

    由此易知，S中最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{q3,p3}，如下图所示。

 

    如果最接近点对是{q3,p3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离都不超过d，且在区间(m-d,d]和(d,m+d]各有且仅有一个点。这样，就可以在线性时间内实现合并。

    此时，一维情形下的最近点对时间复杂度为O(nlogn)。

    在二维情形下，类似的，利用分治法，但是难点在于如何实现线性的合并？

 

    由上图可见，形成的宽为2d的带状区间，最多可能有n个点，合并时间最坏情况下为n^2,。但是，P1和P2中的点具有以下稀疏的性质，对于P1中的任意一点，P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中，且最多只需检查六个点（鸽巢原理）。

    这样，先将带状区间的点按y坐标排序，然后线性扫描，这样合并的时间复杂度为O(nlogn)，几乎为线性了。

#include <algorithm>#include <iomanip>#include <cmath>#include <cstdio>#include <fstream>#include <iostream>using namespace std;struct node{    double x;    double y;}a[100005];int q[100005];double find (int,int);double min (double,double);double dis(node,node);double cmpx(node,node);double cmpy(int,int);int main(){    int t;    while (scanf("%d",&t)!=EOF)    {        if (!t) break;        for (int i=0;i<t;i++)            scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);        sort(a,a+t,cmpx);        printf("%.2f\n",find(0,t-1)/2);    }    return 0;}double cmpx(node a,node b){    return a.x<b.x;}double cmpy(int w,int e){    return a[w].y<a[e].y;}double min(double a,double b){    return a<b?a:b;}double dis(node a,node b){    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}double find(int l,int r){    double ans;    if (r==l+1) return dis(a[r],a[l]);    if (r==l+2) return min(dis(a[l],a[l+1]),min(dis(a[l+1],a[r]),dis(a[l],a[r])));    int mid=(l+r)>>1;    ans=min(find(l,mid),find(mid+1,r));    int c=0;    for (int i=l;i<=r;i++)        if ((a[i].x>=a[mid].x-ans)&&(a[mid].x+ans>=a[i].x)) q[c++]=i;    sort(q,q+c,cmpy);    for (int i=0;i<c;i++)        for (int j=i+1;j<c;j++){            if (a[q[j]].y-a[q[i]].y>=ans) break;            ans=min(ans,dis(a[q[i]],a[q[j]]));        }    return ans;}