leetCode 69.Sqrt(x) (平方根) 解题思路和方法

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

思路：因为本题是int类型的数据，所以可以使用二分法查找。但是面试的时候很少有整数的，所以真正的面试都是double。

int类型如下：

public class Solution {    public int mySqrt(int x) {        if(x <= 1)            return x;        long i = 0;        long j = x/2 + 1;//符合的结果在i-j的范围内        long mid = 0;        while(i <= j){//二分法查询合适的值        mid = (i+j)/2;        if(mid*mid == x)        return (int) mid;        if(mid*mid < x)        i = mid + 1;        else        j = mid - 1;        }        if(mid*mid > x)//微调结果        mid--;return (int) mid;    }}

double类型的没办法用二分，只能用牛顿迭代公司求解。

方法二：参考http://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/04/18/3028607.html

   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

 

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

代码如下：

    public double mySqrt(double x) {    if( x < 0)    return x;    double x0 = x;    while(Math.abs(x0*x0 - x) >= 1e-10){    x0 = (x0 + x/x0)/2;    }    return x0;    }