数字信号处理的基础-卷积的理解

数字信号处理的一条原则呢就是把信号分解成一个一个的脉冲信号，输入到系统之后得到输出响应，再把这些输出响应做一个线性的叠加就可以得到真是的响应了。这一点是非常重要的，不管是卷积还是傅里叶变换，本质就是这个样子的。

卷积从数字信号处理的角度来讲就是：加入我知道系统的脉冲响应，并且知道输入信号，那么我又没有什么把那可以得到输出是什么呢？

这样卷积就能够把我们想要的结果求解出来，假如系统的脉冲响应用h（n）表示，就是一个脉冲信号输入到系统之后，在系统的输出端观察到的输出波形就是h（n）；那么我把我要输入的时域信号表示成一系列的脉冲信号输入到系统中，那么就能够得到一系列的输出h（n）；把这些h（n）做线性叠加就能够得到输入信号的输出结果。当然这样的系统必须是线性时不变系统，就是不会随着温度或者是其他的原因，我的单位脉冲响应会发生变化。

这已经说明了卷积的本质，下面用图解的方式更能看的清除:

假设左边的一溜是输入信号，大小没有标，也暂时不管大小，第一幅图呢是原始的，下面的一溜是将原始信号分解成为单个脉冲，右边的一溜是对应的单个脉冲信号进入系统之后得到的响应，也没有标注大小，关于h（n-k）的理解，我是这么认为的：

整个h（n）只是一个标号，当我的第二个时域脉冲输入的时候，相对于第一个信号的输出结果，是要向右移动一位的，所以就存在了h（n-k）；这个也充分的表明，输出的结果是线性叠加的结果；是线性叠加的结果；是线性叠加的结果。

按照第一张图的方式，我们来用一个实例来说明，如下图所示：

假设输入信号为x[n] = { 1 , 3 , 2 , 4}

系统脉冲响应为h[n] = { 5 , 2 , 1 , 4 , 3}

那么按照图1分解的形式得到图2的形式：结果为5 ， 17 ， 17 ， 31 ， 25 ， 21 ， 22 ， 12

此时给出卷积的计算公式

为了更加明确为什么是h（n-i）；我么可以分解一下计算过程如下图所示：

得到的计算步骤和卷积的公式是吻合的。