数字信号处理——卷积

      最近做相关滤波追踪的时候，遇到了瓶颈，所以想从头到尾理一理基础知识。 

形象的解释：

      就常识上来讲，系统的响应，不仅与当前时刻系统的输入有关，还有之前的若干输入有关。也就是说，每一个输入信号都会对输出值产生影响，但影响的程度不尽相同，而这个影响程度的大小，就是权值，也就是卷积核（图像处理中，称之为卷积滤波器）。将每一个输入信号乘以权值，然后叠加，就得到了最后的输出响应。

      在现实生活中，卷积是有诸多种意义的，比如增加、合成或者旋转等。不用去深究它的含义，只要知道它是抽象的数学符号，和加减乘除是同一类抽象的数学符号。但一般来说，卷积核，也就是和输入信号做 * 运算的，表示权值。至于权值怎么计算，具体问题具体分析。

数学上的解释：

      首先，卷积是一种线性运算。很多介绍直接上积分公式，让人不能深刻理解。其实，卷积是两个变量在某范围内相乘后再相加的结果。此处只说离散信号，连续信号同理。如果卷积的变量是序列  x(n)，y(n)，那么，卷积的结果是：

      n 是什么？这就要说到“脉冲分解”。如下图所示， N 个采样信号经过脉冲分解后，形成 N 个信号分量。其中，每一个信号分量只包含原始信号的某一个采样点信号，而其他采样点信号值为 0，如果一个信号只有一个非零点，其他各点的数值均为0，那么这个信号称为“脉冲信号”。

                                                    

      也就是说，n 表示时序，也就是横坐标。

       k表示什么？k是横坐标上的一个一个点。 先说单位脉冲信号和脉冲响应。记住：任意离散信号 x(n) 可以表示成组成它的单位脉冲信号 及其时移的加权线性组合形式。也就是：

这个公式是什么意思呢，比如 n = 0的时候，权值 为1 ，只有当 k 为0的时候，权值才是 1 ，当 k 为其他值的时候，权值为0。那么在数学中，

      那么，将上面的式子叠加，得到

这里强调一下，自变量是 n ，不是 k，k 仅仅是参变量！！在信号的时移中，应该理解为向右平移 n (n > 0)或者向左平移 n(n < 0)，不能理解为向左或向右平移 k。那么，当给出输入信号 x(n)，和单位脉冲响应的 h(n)的时候，应当这样求解，比如：

      例题：给定以 LTI 系统，其单位脉冲响应 h(n) 和输入信号 x(n)如图所示，计算系统的输出 y(n)，并绘制波形图

      从题目中，更加能形象直观地看出：比如输出响应 n = 0 处，响应值与所有的输入信号都有关系，只不过不同的输入信号对输出的影响是不同的，它是所有的输入信号 x(k)，乘以对应的权值，然后叠加。权值的计算具体问题具体分析，在本题中，权值是将单位脉冲响应绕 y 轴反转，然后平移 n 个单位。

      如果对于连续时间系统，卷积可以表示为：

      注意： 才是积分变量，是信号的自变量。因此，在求解卷积运算时，要遵循一下几个步骤：

（1）、自变量变换。将给定信号的横坐标 t 改变成 ，即信号的 自变量。

（2）、将翻折，即在前面加负号

（3）、时移。若 t > 0，表示波形右移， t <0 ，波形左移

（4）、重叠相乘。将两部分的重叠信号相乘（也可以说，两部分对应相乘，只不过没有重叠的部分，至少有一个信号为 0）

（5）、算积分。其实就是把第四步的结果累加。

      最后，再来看一下卷积的意义：y(t) 是系统在 t 时刻的输出，x( )表示在  时刻的输入。那么，系统在 t 时刻的输出，等于系统在任意 时刻的输入与函数 h(t- ) 决定的。 h(t- ) 表示延迟，两者相乘，表示   时刻的输入，经过 t -   时间的延迟在对t 时刻的影响。而积分运算，是将无数个 时刻的影响进行叠加

      在图像处理中，权值，也就是卷积核。通过输入信号 * 卷积核，获得响应值。

      卷积一个特别好的应用：卷积和傅里叶变换密切相关，即两个函数的傅里叶变换后的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这样，在傅里叶分析中，许多问题能够得到简化。