集合划分

问题描述：给定含有n个元素的集合{1,2,...,n}，可以将其划分为若干非空子集。例如，当n=4时，集合{1,2,3,4}可以构造15个不同的划分，如下。

    {{1}，{2}，{3}，{4}}

    {{1234}}

   {{1}，{234}}；{{2}，{134}}；{{3}，{124}}；{{4}，{123}}

    {{12}，{34}}；{{13}，{24}}；{{14}，{23}}

   {{1}，{2}，{34}}；{{1}，{3}，{24}}；{{1}，{4}，{23}}

   {{12}，{3}，{4}}；{{13}，{2}，{4}}；{{14}，{2}，{3}}

   编程任务：给定正整数n，试计算含有n个元素{1,2,3,...,n}可以划分为多少个不同的非空子集。

 

思路：对于n个元素的集合，可以划分成由m(1<=m<=n)个子集构成的子集，如{{1}，{2}，{3}，{4}}就是由4个子集构成的非空子集。假设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子集构成的集合的个数，那么可以这样来看：

     1)若m==1，则f(n,m)=1;

     2)若n==m，则f(n,m)=1;

     3)若非以上两种情况，f(n,m)可以由下面两种情况构成

        a.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一个新的元素，则有m*f(n-1,m)种方法；

       b.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合，则有f(n-1,m-1)种方法。

因此：

当m==1||n==m时   f(n,m)=1

当m<n&&m!=1时 f(n,m)=f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m)

参考代码：

#include<stdio.h>int f(int n,int i){if(i==1||n==i)return 1;elsereturn f(n-1,i-1)+f(n-1,i)*i;}int main(){int i,j;int n,sum=0;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)sum+=f(n,i);printf("%d\n",sum);return 0;}