求逆序数（暴力，归并，树状数组）

求一个数列的逆序数（逆序数就是数中各位在它前<后>面有多少个数比它大<小>，求出这些元素个数之和。）

逆序对：数列a[1],a[2],a[3]…中的任意两个数a[i],a[j] (i<j)，如果a[i]>a[j],那么我们就说这两个数构成了一个逆序对

逆序数：一个数列中逆序对的总数

如数列 3 5 4 8 2 6 9

(5,4)是一个逆序对，同样还有(3,2),(5,2),(4,2)等等

那么如何求得一个数列的逆序数呢？

方法1：直接暴力的一个个数，对于数列中的每一个数a[i]，遍历数列中的数a[j](其中j<i),若a[i]<a[j],则逆序数加1，这样就能统计出该数列的逆序数总和

            时间O（n*n）

 方法2：

           在合并的过程中是将两个相邻并且有序的序列合并成一个有序序列，如以下两个有序序列

             Seq1：3  4  5

             Seq2：2  6  8  9

          合并成一个有序序:

            Seq：2  3  4  5  6  8  9

          对于序列seq1中的某个数a[i],序列seq2中的某个数a[j]，如果a[i]<a[j],没有逆序数，如果a[i]>a[j]，那么逆序数为seq1中a[i]后边元素的个数(包括a[i])，即len1-i+1,这样累加每次递归过程的逆序数，在完成整个递归过程之后，最后的累加和就是逆序的总数。

 代码如下：

<span style="font-size:14px;">#include <iostream>using namespace std;#include <string.h>#include <stdio.h>#include <climits>#include <algorithm>#define m1 505000typedef long long LL;int date[m1],a[m1],b[m1];LL ans;void Mer( int *date, int left, int mid, int right ){    int i,j;    i =0;    for( j = left; j <= mid; j ++ )    b[i++]=date[j];    int len1=mid-left+1;    i=0;    for( j = mid+1; j <=right; j ++)        a[i++]=date[j];    int len2 = right-mid;    i=0;j=0;    int k =left;    while(i<len1&&j<len2&&k<=right)    {        if(b[i]<=a[j])            date[k++]=b[i++];        else{            date[k++]=a[j++];            ans+=(len1-i);        }    }    while(i<len1) date[k++]=b[i++];    while(j<len2) date[k++]=a[j++];}void Merg( int *date, int left, int right ){    if( left < right )    {        int m = ( left + right ) / 2;        Merg(date, left, m );        Merg( date, m+1, right );        Mer( date, left, m, right );    }}int main(){    int n;    while( scanf ( "%d", &n ) ,n )    {        for( int i = 0; i < n; i ++ )            scanf ( "%d", &date[i] );        ans = 0;        Merg( date, 0, n-1 );        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}</span>

方法3：采用树状数组的方法。

                1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

                2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

    算法详细解释：《下列解释部分是转载》

 1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

    刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

    还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

    刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

    不是单纯的建立在输入数组之上。

    比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，

    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

    所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

    这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

    使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

   离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

   而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

   ①当然用map可以建立，效率可能低点；

   ②这里用一个结构体

   struct Node

   {

      int v,ord;

   }p[510000];和一个数组a[510000];

   其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

   此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

   for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

   然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

   具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？

    如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，

    每插入一个数， 统计比他小的数的个数，

    对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

    其中 i 为当前已经插入的数的个数，

    getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,

    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数

    但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

    假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).

代码如下：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string.h>using namespace std;typedef long long  LL;struct point{    LL x;    LL ord;}a[500005];LL b[500005];LL c[500005];bool cmp(const point a,const point b){    return a.x<b.x;}LL lowbit(int x){    return x&(-x);}void update(LL pos,LL num){    while(pos<=500005)    {        c[pos]+=num;        pos+=lowbit(pos);    }}LL sum(LL end1){    LL s=0;    while(end1>0)    {        s+=c[end1];        end1-=lowbit(end1);    }    return s;}int main(){    LL n;    while(scanf("%lld",&n)&&n!=0)    {        LL i;        for(i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%lld",&a[i].x);            a[i].ord=i;        }        sort(a+1,a+n+1,cmp);        memset(b,0,sizeof(b));        memset(c,0,sizeof(c));        for(i=1;i<=n;i++)            b[a[i].ord]=i;        LL ans=0;        for(i=1;i<=n;i++)        {            update(b[i],1);            ans+=(i-sum(b[i]));        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}