双重DP实例1：回文分割

有的问题具有最优子结构，可以使用动态规划求解。但是在求解该最优子结构时，需要使用另外一个问题的最优子结构。这个时候我们就必须使用双重动态规划进行求解。

最大子数组乘积

题目

给定一个整数数组，求最大子数组的乘积。

分析

题目很明显需要使用动态规划。但是我们在仔细考虑最优子结构时考虑到，两个很小的负数相乘也可以得到最大乘积，所以必须使用“最小子数组的乘积”这个问题的最优子结构。两个最优子结构互相嵌套，同事更新，谓之双重DP。

代码

    int maxProduct(vector<int>& nums) {        vector<int> mymin(nums.size(), nums.at(0));        vector<int> mymax(nums.size(), nums.at(0));        for(int i=1; i<nums.size(); i++)        {            mymax.at(i) = max(nums.at(i), nums.at(i)>0 ? nums.at(i) * mymax.at(i-1) : nums.at(i) * mymin.at(i-1) );            mymin.at(i) = min(nums.at(i), nums.at(i)<0 ? nums.at(i) * mymax.at(i-1) : nums.at(i) * mymin.at(i-1) );        }        return *max_element(mymax.begin(), mymax.end());    }

复杂度分析

时间复杂度和空间复杂度都为o(n)。

回文分割

题目

将一个字符串分割成若干个回文子串，求最少的切割次数。

问题分析

我们使用一维表dp记录从i开始到末尾（第len个位置）回文子串的最小个数（i从0开始）。则状态方程：

dp[i]=maxj(1+dp[j+1])

其中j∈[i,len−1]并且[i,j]必须是回文子串。

欲求解dp[i]，我们必须保证[i,j]是回文子串，而判断当前子串是否是回文，可以使用动态规划求解。ispal[i][j]记录i到j之间的子串是否是回文。
i<j时,

ispal[i][j]=(s.at(i)==s.at(j))?ispal[i+1][j−1]:0

i==j时, ispal[i][j]=1。

代码：

   int minCut(string s) {        int len = s.length();        if(len<=1) return 0;        if(len==2) return (s.at(0)==s.at(1)) ? 0 : 1;        vector<int> dp(len+1, 0 );        for(int i=0; i<len; i++)            dp.at(i) = len - i;         vector<vector<bool> > ispal( len, vector<bool> (len, 0) );        for(int i=0; i<len; i++)             ispal.at(i).at(i) = 1;        for(int i=len-1; i>=0; i--)        {            for(int j=i; j<len; j++)            {                if( s.at(i)==s.at(j) && (j-i<2 || ispal.at(i+1).at(j-1) ) )                {                    ispal.at(i).at(j) = 1;                    dp.at(i) = min(dp.at(i), 1 + dp.at(j+1) );                }            }        }        return dp.at(0)-1;    }

复杂度分析

该问题时间复杂度和空间复杂度都是o(n2)