002《算法的乐趣》——分治法

来源：互联网发布：windows10 内置ubuntu 编辑：程序博客网时间：2024/05/29 08:41

分治法

分治法（divide and conquer）的设计思想是将大问题分解为一系列规模较小的相同问题，然后逐个解决。一般可以使用递归法，层层分解，使得规模不断减小知道能够解决。

在子问题的层面上，分治法基本可以归纳为三步：

（1）分解：将问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题。确保各个子问题具有相同的子结构。

（2）解决：若能解决则解决，否则进行再次分解。

（3）合并：将子问题的解通过某种方法合并起来，得到原问题的解。

从算法实现的角度上来看，分治法得到的子问题和原问题是相同的，所以用相同的函数来解决。区别只在与问题的规模和范围。

分治法的难点就是如何将子问题分解，并且将子问题的解合并出原问题的解。难且灵活。

快速排序法：

将待排序的序列作问题，子问题的规模可以定义为子序列在原始序列中的起始位置。如此以来，原问题和子问题的描述都是原始序列+起始位置，原问题的起始位置就是[1,n],子问题的起始位置就是[1,n]的某一个子区间。

快速排序的基本思想是：

（1）先从数列中取出一个是作为基准数。

（2）分区的工程，将比这个数小的数全都放在它的前面，比它大的书全都放在后面。

（3）在对左右区间重复（2），知道各区间只有一个数。

借助《白话经典算法系列》里的思想：先把数组里的基准数（第一个数）提出来，此时第一个位置有个坑；然后从后向前找比基准数小的数，找到后放在前面的坑里（此位置有个新坑）；然后从前往后找比基准数大的数，放在后面的坑；反复重复第二、三步；最后把基准数放在坑里，此时基准数前面的数都比基准数小，后面的数都比基准数大（可能不是按顺序的）。

对快速排序法做进一步说明：挖坑填数+分治法：

以一个数组作为示例，取区间第一个数为基准数。

初始时，i = 0; j =9; X = a[i] = 72

由于已经将a[0]中的数保存到X中，可以理解成在数组a[0]上挖了个坑，可以将其它数据填充到这来。

从j开始向前找一个比X小或等于X的数。当j=8，符合条件，将a[8]挖出再填到上一个坑a[0]中。a[0]=a[8];i++; 这样一个坑a[0]就被搞定了，但又形成了一个新坑a[8]，这怎么办了？简单，再找数字来填a[8]这个坑。这次从i开始向后找一个大于X的数，当i=3，符合条件，将a[3]挖出再填到上一个坑中a[8]=a[3];j--;

数组变为：

i = 3; j = 7; X=72

再重复上面的步骤，先从后向前找，再从前向后找。

从j开始向前找，当j=5，符合条件，将a[5]挖出填到上一个坑中，a[3] =a[5]; i++;

从i开始向后找，当i=5时，由于i==j退出。

此时，i = j = 5，而a[5]刚好又是上次挖的坑，因此将X填入a[5]。

数组变为：

可以看出a[5]前面的数字都小于它，a[5]后面的数字都大于它。因此再对a[0…4]和a[6…9]这二个子区间重复上述步骤就可以了。

对挖坑填数进行总结

1．i=L; j = R; 将基准数挖出形成第一个坑a[i]。

2．j--由后向前找比它小的数，找到后挖出此数填前一个坑a[i]中。

3．i++由前向后找比它大的数，找到后也挖出此数填到前一个坑a[j]中。

4．再重复执行2，3二步，直到i==j，将基准数填入a[i]中。

照着这个总结很容易实现挖坑填数的代码：

int AdjustArray(int s[],int l, int r)// 返回调整后基准数的位置    {       int i = l, j = r;       int x = s[l];//s[l]即s[i]就是第一个坑       while (i < j) {           // 从右向左找小于x的数来填s[i]           while (i < j&& s[j] >= x)              j--;           if (i < j) {              s[i] = s[j];// 将s[j]填到s[i]中，s[j]就形成了一个新的坑              i++;           }           // 从左向右找大于或等于x的数来填s[j]           while (i < j&& s[i] < x)              i++;           if (i < j) {              s[j] = s[i];// 将s[i]填到s[j]中，s[i]就形成了一个新的坑              j--;           }       }       // 退出时，i等于j。将x填到这个坑中。       s[i] = x;       return i;    }

再写分治法的代码：

void quick_sort1(int s[],int l, int r) {       if (l < r) {           int i =AdjustArray(s, l, r);//先成挖坑填数法调整s[]           quick_sort1(s,l, i - 1); // 递归调用           quick_sort1(s,i + 1, r);       }    }

这样的代码显然不够简洁，对其组合整理下：

//快速排序    void quick_sort(ints[],int l, int r) {       if (l < r) {           //Swap(s[l],s[(l + r) / 2]); //将中间的这个数和第一个数交换参见注1           int i = l, j =r, x = s[l];           while (i <j) {              while (i< j && s[j] >= x)                  // 从右向左找第一个小于x的数                  j--;              if (i <j)                  s[i++] = s[j];               while (i< j && s[i] < x)                  // 从左向右找第一个大于等于x的数                  i++;              if (i <j)                  s[j--] =s[i];           }           s[i] = x;           quick_sort(s,l, i - 1); //递归调用           quick_sort(s, i+ 1, r);       }    }

快速排序还有很多改进版本，如随机选择基准数，区间内数据较少时直接用另的方法排序以减小递归深度。

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