欧几里得算法求解最大公约数和最小公倍数

        欧几里得算法（Euclidean Algorithm）是求解最大公约数（greatest common divisor, 简写 GCD）的最常见的算法。按照辗转相除法的原理，欧几里得算法似乎天然就有递归的特征，即，此算法可以写成如下的递归调用（C/C++ 语言）：

//求解最大公约数int GCD(int a, int b){int temp = a % b;if(temp) {GCD(b, temp);} else {return b;}}

        注意到上面的递归调用是一个尾部递归，所以此算法可以优化成为一个循环，从而避免递归调用（函数的递归调用比循环的执行代价更高，所以应该尽量使用循环而非递归。具体内容可以参考编译原理之类的书）。 另外，最大公约数（GCD）与最小公倍数（least common multiple，简写 LCM）之间还存在关系：

        【定理】 对于两个正整数 a 和 b，有

GCD(a, b) * LCM(a, b) == a * b

此定理的证明极其简单：假设 k = GCD(a, b)，则 a 和 b 可以分别表示为

a == k * m;

b == k * n;

其中 m 和 n 是正整数，且 m 与 n 互质。则

a * b == k^2 * m * n;

另一方面，显然 a 与 b 的最小公倍数为

LCM(a, b) == k * m * n;

于是定理得证。

        于是，求最大公约数与最小公倍数的算法可以优化为下面的代码（C/C++ 语言）:

//求解最大公约数int GCD(int a, int b){int temp;while(a % b) {temp = a % b;a = b;b = temp;}return b;}//利用最大公约数求解最小公倍数//定理：GCD(a, b) * LCM(a, b) == a * bint LCM(int a, int b){return a * b / GCD(a, b);}