斐波那契数列——矩阵的幂求解

题目：

斐波那契数列的递推公式如下：

F(0) = 0;

F(1) = 1;

F(n + 2) = F(n + 1) + F(n);

求数列的第N项的值对10000取余的结果。( 0<=n<= 10^16)

求解斐波那契数列，如果N比较小的情况下，可以直接打表求解，但是对于N很大的情况下，并不适用。

所以，有些人会想到高精度计算，但是，N达到10^5以上时，时间复杂度难以想象，每计算一个数，需要进行高精度加法。然而还有求解对10000的取余的值。

我们可以用矩阵的幂来求解。斐波那契数列的递推公式为F(n + 2) = F(n + 1) + F(n);可以转换为矩阵的形式

将这公式乘开，还是等于上面的递推公式。因此，得到了F(n)的求解公式

下面的是代码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;typedef vector<int> vec;typedef vector<vec> mat;typedef __int64 ll;const int M = 10000;mat mul(mat &A, mat &B)    //矩阵相乘函数{mat C(A.size(), vec(B.size()));  //二维数组for(int i = 0; i < A.size(); i++)for(int k = 0; k < B.size(); k++)for(int j = 0; j < B.size(); j++)C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % M;return C;}mat pows(mat A, ll n)        //快速幂运算{mat B(A.size(), vec(A.size()));  //二维数组for(int i = 0; i < A.size(); i++)B[i][i] = 1;while(n > 0){if(n & 1)B = mul(B, A);A = mul(A, A);n >>= 1;}return B;}int main(){ll n;while(scanf("%I64d", &n) != EOF) //输入n{mat A(2, vec(2));A[0][0] = 1; A[0][1] = 1;A[1][0] = 1; A[1][1] = 0;A = pows(A, n);printf("%d\n", A[1][0]);}return 0;}