步步为营（十七）动态规划（一）理论初探

终于讲到动态规划了~该来的总会来的……

作为算法的一大核心，我大动态规划的影响力不可谓不大。很多工业级的算法里，都清晰可见动态规划的模样。
你问我为何这么普及？道理很简单。丫的动态规划也是一种思想！！！

相信刚开始学算法的同学都有过被贪心虐的死去活来的时候，那种策略的论证过程，有时明明就是只差一点点，但是就是做不出……
如果你喜欢这种感觉，那么恭喜你，动态规划也是充斥着这种没着没落的感觉…… 如果你不喜欢~反正也上了算法这条贼船，多学点东西总是没坏处的~

动态规划思想

好了，不废话了。如果之前接触过贪心问题的话，对于问题的子问题化、分别求解和组合出最后结果的整个思想肯定不陌生。动态规划使用相同的思想，也是将待求解的问题分解为若干个子问题，按顺序求解子问题，同时前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。

1. 与贪心算法、分治法类似，在求解子问题时只保存针对当前子问题的最优解。
2. 由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个数组中。
3. 值得注意的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

动态规划适用条件

既然说动态规划是一种思想，那么就要讨论下动态规划的成立条件。

1. 总问题可划分为多个子问题。
2. 通过子问题的最优解可以获得整个问题的最终最优解。
3. 子问题必须具有无后效性。当前状态的子问题的解不会被之后状态的子问题影响。
4. 动态规划的子问题不独立，单个子问题的最优解可以使用之前已解决的子问题的解，这也是动态规划的优点

如果第四条对于一个问题不成立，那么这个问题的计算方法就退回到了一般的回溯法或者搜索问题，如果这个时候仍然使用动态规划进行求解，整个问题的求解并不会得到任何优化。

动态规划一般步骤

动态规划描述子问题一般使用“状态”这个词，选定子问题的某种性质作为“状态”。整个问题从最初状态开始，然后按照某种决策顺序依次解出对应状态的最优解，最后到达结束状态。整个决策的顺序需要根据问题进行调整。

也就是说，动态规划的解题步骤可以一般性的划分为以下几种：

1. 子问题的划分。 按照一定的顺序把整个问题划分为若干个规模相等的子问题。
2. 子问题状态的确定。根据问题需求和子问题的各个属性确定子问题的”状态“，同时需要满足无后效性。
3. 推导状态转移方程。 状态转移指的就是根据上一个状态（或者叫上一个子问题的解）来获取当前子问题解的过程。 如果要进行具体的计算，那么就需要写出具体的算式。这一步也是最需要时间的，传说中最考验功力的一关
4. 边界条件和初始值的确定。由于动态规划是根据之前子问题的解来推导当前子问题的解，所以最初状态的值必须确定。边界条件是用来描述结束状态的，如果当前状态完全到达边界，便视为已经到达了最终状态。

最重要的就是理解”状态“对于每个问题来说是哪一个性质。
一个子问题可能有多个状态，比如对于背包问题来说，子问题的性质就包括”当前重量“”当前体积“两个。但是单个子问题我们只能计算一个性质，也就是只能关注一个状态。

应用举例

额，先看个斐波那契数列的例子吧。
斐波那契数列的解法很多，搜索和分治法都可以解出，但是可以看到的是，如果给定的N比较大，那么搜索和分治都会变得很慢，甚至有溢出的问题出现。关键就在于这两种方法都没有保存子问题的解，而是会重复进行很多计算。
一旦出现重复的子问题求解，优先考虑动态规划方式求解，一般都会获得很多优化。
斐波那契的动态规划解法：

1. 步骤划分。按照从1到n的顺序，每个整数都是一步，整个问题可以划分为n个子问题。
2. 性质确定。整个子问题就一个性质”数值“，没有其他选择,那么a[k] (0 < k <= n)就指的是对于第K步对应的斐波那契数。
3. 状态转移方程。 a[n] = a[n-1] + a[n-2]，不解释。
4. 边界值和起始值。由于这是一维的求解，所以边界值只有一个(0 < k <= n)。起始值最少需要两个：a[0] = 0,a[1] = 1。

OK。现在我们就可以开始计算了，

a[2] = a[1] + a[0];a[3] = a[2] + a[1];a[4] = a[3] + a[2];......a[n] = a[n-1] + a[n-2]

这样就可以显示出动态规划的优点所在：针对每一个状态只需要进行一次运算，之后就可以重复利用这个状态的值，从而减少了大量不必要的重复计算