poj 1222 高斯消元详解

题意

有一个5 * 6的矩阵，每个位置表示灯，1表示灯亮，0表示灯灭。
然后如果选定位置i，j点击，则位置i，j和其上下左右的灯的状态都会反转。
现在要你求出一个5 * 6的矩阵，1表示这个灯被点击过，0表示没有。
要求这个矩阵能够使得原矩阵的灯全灭。
非诚勿扰。

解析

来源

首先，要明确一些问题：
1.这些灯点击的顺序可以是任意的；
2.每只灯只能被点击1次，因为点击2次相当于没点。

然后，以3*3的矩阵为例，假设初始灯泡的布局：

L=⎡⎣⎢010111001⎤⎦⎥

每次点击某灯泡的时候，可以看成是在原矩阵上异或上一个如下的矩阵：
比如点击2，2点：

A(2,2)=⎡⎣⎢010111010⎤⎦⎥

再如点击1，1点：

A(1,1)=⎡⎣⎢110100000⎤⎦⎥

然后，假设X（i， j）表示使得L变为0矩阵的情况下，位置i，j上的灯泡点击不点击。0表示不点击，1表示点击。
所以可以列出如下的方程：

(L)xor[X(1,1)∗A(1,1)]xor[X(1,2)∗A(1,2)]xor[X(1,3)∗A(1,3)]...xor[X(3,2)∗A(3,2)]xor[X(3,3)∗A(3,3)]=0

方程两边同时异或上L，得：

[X(1,1)∗A(1,1)]xor[X(1,2)∗A(1,2)]xor[X(1,3)∗A(1,3)]...xor[X(3,2)∗A(3,2)]xor[X(3,3)∗A(3,3)]=L

用at， bt，ct…来表示A（i， j）的元素，lt来表示L的第t个元素。
即：

A(i,j)=⎡⎣⎢adgbehcfi⎤⎦⎥

L=⎡⎣⎢l1l4l7l2l5l8l3l6l9⎤⎦⎥

则将上述矩阵展开，可得如下方程组：

[a1∗x(1,1)]xor[a2∗x(1,2)]xor[a3∗x(1,3)]...xor[a9∗x(3,3)]=l1

[b1∗x(1,1)]xor[b2∗x(1,2)]xor[b3∗x(1,3)]...xor[b9∗x(3,3)]=l2

...

[h1∗x(1,1)]xor[h2∗x(1,2)]xor[h3∗x(1,3)]...xor[h9∗x(3,3)]=l8

[i1∗x(1,1)]xor[i2∗x(1,2)]xor[i3∗x(1,3)]...xor[i9∗x(3,3)]=l9

只要求解这个方程组中的9个x的解，就可以得到使得原矩阵全灭的矩阵了。

现在的问题是如何求解上述方程组。
先复习一下线代当中的高斯消元法：
高斯消元解线性方程组

高斯消元解普通加减方程组模板O（n^3）：

int a[maxn][maxn];  //增广矩阵int x[maxn];        //解集bool freeX[maxn];   //标记解是否是自由变元int gcd(int a, int b){    return b ? gcd(b, a % b) : a;}int lcm(int a, int b){    return a / gcd(a, b) * b;}//高斯消元解方程组//返回值-2表示有浮点数解，无整数解//返回值-1表示无解，0表示有唯一解，大于0表示有无穷解，返回自由变元个数//有equ个方程，var个变元//增广矩阵行数[0, equ - 1]//增广矩阵列数[0, var]int gauss(int equ, int var){    for (int i = 0; i <= var; i++)    {        x[i] = 0;        freeX[i] = true;    }    //转换为阶梯矩阵    //col表示当前正在处理的这一列    int col = 0;    int row = 0;    //maxR表示当前这个列中元素绝对值最大的行    int maxRow;    for (; row < equ && col < var; row++, col++)    {        //枚举当前正在处理的行        //找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换        maxRow = row;        for (int i = row + 1; i < equ; i++)        {            if (abs(a[maxRow][col]) < abs(a[i][col]))            {                maxRow = i;            }        }        if (maxRow != row)        {            //与第row行交换            for (int j = row; j < var + 1; j++)            {                swap(a[row][j], a[maxRow][j]);            }        }        if (a[row][col] == 0)        {            //说明该col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列            row--;            continue;        }        for (int i = row + 1; i < equ; i++)        {            //枚举要删的行            if (a[i][col] != 0)            {                int LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[row][col]));                int ta = LCM / abs(a[i][col]);                int tb = LCM / abs(a[row][col]);                //异号                if (a[i][col] * a[row][col] < 0)                    tb = -tb;                for (int j = col; j < var + 1; j++)                {                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[row][j] * tb;                }            }        }    }//    //1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).    for (int i = row; i < equ; i++)    {        if (a[i][col] != 0)        {            return -1;        }    }    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.    //                  出现的行数即为自由变元的个数.    if (row < var)    {        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.        for (int i = row - 1; i >= 0; i--)        {            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.            // freeNum用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.            int freeNum = 0;            int freeIndex = 0;            for (int j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && freeX[j])                {                    freeNum++;                    freeIndex = j;                }            }            if (1 < freeNum)// 无法求解出确定的变元.                continue;            // 说明就只有一个不确定的变元freeIndex，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.            int tmp = a[i][var];            for (int j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && j != freeIndex)                {                    tmp -= a[i][j] * x[j];                }            }            x[freeIndex] = tmp / a[i][freeIndex];            freeX[freeIndex] = false;        }        return var - row;    }    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for (int i = var - 1; i >= 0; i--)    {        int tmp = a[i][var];        for (int j = i + 1; j < var; j++)        {            if (a[i][j] != 0)            {                tmp -= a[i][j] * x[j];            }        }        if (tmp % a[i][i] != 0)//浮点数            return -2;        x[i] = tmp / a[i][i];    }    return 0;}

然后就这题如何用高斯消元来解决了。（╯＾╰）
首先是将A（i，j）构造成增广矩阵。
然后是在高斯消元的时候把原来的+-操作改成异或的情形。

代码

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <stack>#include <vector>#include <queue>#include <map>#include <climits>#include <cassert>#define LL long longusing namespace std;const int inf = 0x3f3f3f3f;const double eps = 1e-8;const double pi = 4 * atan(1.0);const double ee = exp(1.0);const int maxn = 100 + 10;int a[maxn][maxn];  //增广矩阵int x[maxn];        //解集bool freeX[maxn];   //标记解是否是自由变元int gcd(int a, int b){    return b ? gcd(b, a % b) : a;}int lcm(int a, int b){    return a / gcd(a, b) * b;}//高斯消元解方程组//返回值-2表示有浮点数解，无整数解//返回值-1表示无解，0表示有唯一解，大于0表示有无穷解，返回自由变元个数//有equ个方程，var个变元//增广矩阵行数[0, equ - 1]//增广矩阵列数[0, var]int gauss(int equ, int var){    for (int i = 0; i <= var; i++)    {        x[i] = 0;        freeX[i] = true;    }    //转换为阶梯矩阵    //col表示当前正在处理的这一列    int col = 0;    int row = 0;    //maxR表示当前这个列中元素绝对值最大的行    int maxRow;    for (; row < equ && col < var; row++, col++)    {        //枚举当前正在处理的行        //找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换        maxRow = row;        for (int i = row + 1; i < equ; i++)        {            if (abs(a[maxRow][col]) < abs(a[i][col]))            {                maxRow = i;            }        }        if (maxRow != row)        {            //与第row行交换            for (int j = row; j < var + 1; j++)            {                swap(a[row][j], a[maxRow][j]);            }        }        if (a[row][col] == 0)        {            //说明该col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列            row--;            continue;        }        for (int i = row + 1; i < equ; i++)        {            //枚举要删的行            if (a[i][col] != 0)            {                for (int j = col; j < var + 1; j++)                {                    ///                    a[i][j] ^= a[row][j];                }            }        }    }    for (int i = var - 1; i >= 0; i--)    {        x[i] = a[i][var];        for (int j = i + 1; j < var; j++)        {            ///            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);        }    }    return 0;}int main(){#ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);#endif // LOCAL    int ncase;    int ca = 1;    scanf("%d", &ncase);    while (ncase--)    {        memset(a, 0, sizeof(a));        for (int i = 0; i < 30; i++)        {            scanf("%d", &a[i][30]);        }        for (int i = 0; i < 5; i++)        {            for (int j = 0; j < 6; j++)            {                int t = i * 6 + j;                a[t][t] = 1;                if(i>0)a[(i-1)*6+j][t]=1;                if(i<4)a[(i+1)*6+j][t]=1;                if(j>0)a[i*6+j-1][t]=1;                if(j<5)a[i*6+j+1][t]=1;            }        }        gauss(30, 30);        printf("PUZZLE #%d\n", ca++);        for(int i = 0; i < 30; i++)        {            printf("%d", x[i]);            if((i+1) % 6 == 0)                printf("\n");            else                printf(" ");        }    }    return 0;}

UPD：感谢@GoldenGate灰灰 指出模板中的错误。