关于错排的容斥定理的一些心得

贺卡问题:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送的贺年卡,则四张不同的贺年卡不同的分配方式有。现在考虑用排除法求出1、2、3、4这四个正整数的错排的种数,从中摸索出规律.对于四个正整数1、2、3、4,这四个数的全排列数为4!.

有一个数不错排的情况应排除,由于1排在第1位的有3!种,2排在第2位的有3!种,,,4排在第4位的有3!种,所以共应排除4*3!种。然而在排除有一个数不错排的情况时,把同时有两个数不错排的情况也排除了,应予以补上,由于1、2分别排在第1、第2位上的情况共有2!种,同理1、3分别排在第1、第3位上的情况也有2!种,,,这四个数中同时有两个数不错排的情况共有C24种,所以应补上C24*2! =4!2!种.在补上同时有两个数不错排的情况时,把同时有三个数不错排的情况也补上了,应予以排除,四个数中有1、2、3不错排,1、2、4不错排,1、3、4不错排和2、3、4不错排共C14种情况,所以应排C14*1!=4!3!种。在排除同时有三个数不错排的情况时,把同时有四个数不错排的情况也排除了,所以应补上同时有四个数不错排的情况仅1、2、3、4这一种。a4=4!-4*3!+4!/2!-4!/3!+1=4!/2!-4!/3!+4!4!=9。

继续这一过程，得到错排的排列种数为D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].其中，∑表示连加符号，k=2~n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。
错排公式的原形为D(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n!)，当n很大时计算就很不方便。一个供参考的简化后的公式是D(n) = [n!/e+0.5] ，其中e是自然对数的底，[x]为x的整数部分证明:由于1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n! + Rn(-1),其中Rn(-1)是余项，等于(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0).所以，D(n) = n! * e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u∈(-1, 0).