二分图最佳匹配---KM算法
来源:互联网 发布:淘宝点击率多少算正常 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 22:55
Kuhn-Munkres算法流程:
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
引用:
KM算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i],顶点Yi的顶标为B [i],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。
两端都在交错树中的边(i,j),A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j),A[i]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶 标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改 顶标后,要把所有不在交错树中的slack值都减去d。
以上都是摘别人的…
但是我对最后一点感到疑惑,为什么修改顶标后,要把所有的不在交错树中的slack值减去d,不减的话,就不行吗?
以下是我的看法:
首先,slack记录的是不在交错树上的边的min(A[i] + B[j] - w[i][j]),在dfs的时候,改动slack的地方是在,找到一条不是交错树上的边的时候。
不在交错树上的边,两个端点中,其中一个端点一定是在交错树上的X的点。但是Y的点就有两种情况,一种是在交错树上的,但是之前已经出现过了,这个时候,会更新一次slack
另一种是不在交错树上的,这时也会更新slack
最后,如果没有找到相应的增广路时,这时就会用所有不在交错树上的Y的最小slack去更新在交错树上的点了。
更新完后,再次出发寻找增广路时,会出现以下情况。
找到一条不属于交错树的边,但两端都属于交错树的,它的slack是不会改变的。另一种情况是,其中一端不属于交错树的,由于A的减小了,B的不变,导致了A[i] + B[j] - w[i][j]的变小,且刚好等于slack - d,所以上次找不到增广路后的更新就没必要更新那些不在交错树上的slack了
O(n^4)算法
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;#define N 510struct Kuhn_Munkres{ int n, left[N], Lx[N], Ly[N], w[N][N]; bool S[N], T[N]; //修改顶标,每次修改顶标,要么直接找到增广路,要么是新增加两个点 void update() { int a = 1 << 30; //修改的顶标为S集合中的,和T'集合,因为我们的目的是添加边,使得T'中的点尽量往T靠 for (int i = 1; i <= n; i++) if (S[i]) for (int j = 1; j <= n; j++) if (!T[j]) a = min(a, Lx[i] + Ly[j] - w[i][j]); //将S集合的顶标减去a,T集合的顶标+a,这样不会影响原来的匹配 for (int i = 1; i <= n; i++) { if (S[i]) Lx[i] -= a; if (T[i]) Ly[i] += a; } } bool match(int i) { S[i] = true; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (Lx[i] + Ly[j] == w[i][j] && !T[j]) { T[j] = true; if (!left[j] || match(left[j])) { left[j] = i; return true; } } } return false; } void KM() { //赋值,要满足Lx[x] + Ly[y] >= w[x, y],所以取Lx[i]为边的结点有i的最长边 for (int i = 1; i <= n; i++) { Lx[i] = Ly[i] = left[i] = 0; for (int j = 1; j <= n; j++) Lx[i] = max(Lx[i], w[i][j]); } //进行匹配 for (int i = 1; i <= n; i++) { while (1) { //S记录的是X部分的被匹配的点,T记录的是Y部分以匹配的点 for (int j = 1; j <= n; j++) S[j] = T[j] = 0; if (match(i)) break; else update(); } } }}km;
O(n^3)算法
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXNODE = 510;typedef int Type;const Type INF = 0x3f3f3f3f; //1e20struct KM{ int n, m; //邻接矩阵存储边 Type g[MAXNODE][MAXNODE]; Type Lx[MAXNODE], Ly[MAXNODE], slack[MAXNODE]; //left[i]表示Y集的i所匹配的X集的位置,right[i]表示的是X集的i匹配的Y集的位置 int left[MAXNODE], right[MAXNODE]; bool S[MAXNODE], T[MAXNODE]; void init(int n, int m) { this->n = n; this->m = m; memset(g, 0, sizeof(g)); } void AddEdge(int u, int v, Type val) { g[u][v] += val; } bool dfs(int u) { S[u] = true; for (int v = 0; v < m; v++) { //如果已经在交错树中出现过了,更新的值也不会变 if (T[v]) continue; Type tmp = Lx[u] + Ly[v] - g[u][v]; if (!tmp) { T[v] = true; //如果该点还没有被匹配到,表示找到了一条增广链了,反之,继续增广下去 if (left[v] == -1 || dfs(left[v])) { left[v] = u; right[u] = v; return true; } } else slack[v] = min(slack[v], tmp); } return false; } void update() { Type a = INF; //找到Y集合的不在交错树上的点 for (int i = 0; i < m; i++) if (!T[i]) a = min(a, slack[i]); for (int i = 0; i < n; i++) if (S[i]) Lx[i] -= a; for (int j = 0; j < m; j++) if (T[j]) Ly[j] += a; } Type km() { memset(left, -1 ,sizeof(left)); memset(right, -1, sizeof(right)); memset(Ly, 0, sizeof(Ly)); //初始化的时候,Lx初始化为最大的,Ly初始化为0,这样可以保证最优 for (int i = 0; i < n; i++) { Lx[i] = -INF; for (int j = 0; j < m; j++) Lx[i] = max(Lx[i], g[i][j]); } for (int i = 0; i < n; i++) { //初始化slack,这样就能达到N^3的复杂度了 for (int j = 0; j < m; j++) slack[j] = INF; while (1) { memset(S, 0, sizeof(S)); memset(T, 0, sizeof(T)); if (dfs(i)) break; update(); } } Type ans = 0; for (int i = 0; i < n; i++) ans += g[i][right[i]]; return ans; }}km;int main() { return 0;}
- KM算法 二分图的最佳匹配
- 二分图的最佳匹配(KM 算法)
- 二分图最佳匹配---KM算法
- 二分图最佳完美匹配-KM算法
- 二分图匹配之最佳匹配 km算法详解
- 二分匹配_最佳匹配KM算法
- 二分图的最佳匹配(KM 算法)
- 带权二分图最佳匹配KM算法模板
- HDU 4862 Jump 二分图最佳匹配KM算法
- hdu2255 二分图的最佳匹配 KM算法
- KM算法——二分图的最佳匹配
- 二分图的最佳匹配(KM 算法)
- 二分图的最佳完美匹配——KM算法
- 带权二分图的最佳匹配(KM算法)
- Uva 1411 ants(KM算法--二分图最佳完美匹配)
- KM算法--带权二分图最佳匹配
- 二分图最佳完美匹配——KM算法总结
- poj2516 Minimum Cost 二分图最佳匹配,km算法
- Mac OS 下命令行使用Git 管理iOS代码
- Form表单做登陆页面
- [MySQL] 行列转换变化各种方法实现总结(行变列报表统计、列变行数据记录统计等
- DFS(深度优先搜索)
- 【MVC 1】MVC+EF实体框架—原理解析
- 二分图最佳匹配---KM算法
- Jquery表单提交JSON数据
- ssh无密码登陆
- iframe网页嵌套效果
- 跳过登陆页面直接访问该jsp文件了,这样不好,请问大家如何避免这种问题?
- 用Frame做邮箱页面
- MFC DLL 的生成与使用
- JVM的内存区域划分
- MVC初了解