Edit Distance

Given two words word1 and word2, find the minimum numberof steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1step.)
You have the following 3 operations permitted on a word:
     a) Insert a character
     b) Delete a character
     c) Replace a character

 

也就是说，就是将一个字符串变成另外一个字符串所用的最少操作数，每次只能增加、删除或者替换一个字符。
首先我们令word1和word2分别为：michaelab和michaelxy（为了理解简单，我们假设word1和word2字符长度是一样的），dis[i][j]作为word1和word2之间的Edit Distance，我们要做的就是求出michaelx到michaely的最小steps。

首先解释下dis[i][j]：它是指word1[i]和word2[j]的Edit Distance。dis[0][0]表示word1和word2都为空的时候，此时他们的Edit Distance为0。很明显可以得出的，dis[0][j]就是word1为空，word2长度为j的情况，此时他们的Edit Distance为j，也就是从空，添加j个字符转换成word2的最小Edit Distance为j；同理dis[i][0]就是，word1长度为i，word2为空时，word1需要删除i个字符才能转换成空，所以转换成word2的最小Edit Distance为i。下面及时初始化代码：

 

       vector<vector<int>> dis(row, vector<int>(col));
       for (int i= 0; i< row; i++) dis[i][0]= i;
       for (int j= 0; j< col; j++)   dis[0][j]= j;

下面来分析下题目规定的三个操作：添加，删除，替换。

假设word1[i]和word2[j](此处i = j)分别为：michaelab和michaelxy

显然如果b==y, 那么dis[i][j] = dis[i-1][j-1]。

如果b!=y，那么：

添加：也就是在michaelab后面添加一个y，那么word1就变成了michaelaby，此时

dis[i][j] = 1 + dis[i][j-1]；

上式中，1代表刚刚的添加操作，添加操作后，word1变成michaelaby，word2为michaelxy。dis[i][j-1]代表从word[i]转换成word[j-1]的最小Edit Distance，也就是michaelab转换成michaelx的最小Edit Distance，由于两个字符串尾部的y==y，所以只需要将michaelab变成michaelx就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i][j-1]。

删除：也就是将michaelab后面的b删除，那么word1就变成了michaela，此时

dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j]；

上式中，1代表刚刚的删除操作，删除操作后，word1变成michaela，word2为michaelxy。dis[i-1][j]代表从word[i-1]转换成word[j]的最小Edit Distance，也就是michaela转换成michaelxy的最小Edit Distance，所以只需要将michaela变成michaelxy就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i-1][j]。

替换：也就是将michaelab后面的b替换成y，那么word1就变成了michaelay，此时

dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j-1]；

上式中，1代表刚刚的替换操作，替换操作后，word1变成michaelay，word2为michaelxy。dis[i-1][j-1]代表从word[i-1]转换成word[j-1]的最小Edit Distance，也即是michaelay转换成michaelxy的最小Edit Distance，由于两个字符串尾部的y==y，所以只需要将michaela变成michaelx就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i-1][j-1]。

最后只需要看着三种方案哪种最小，就采用哪种的编辑方案。

源代码：

 class Solution{
public:
    int minDistance(string word1,string word2){
    int len1 = word1.length()+ 1;
 int len2 = word2.length()+ 1;

 vector < vector <int> > dis(len1, vector<int>(len2));
 //int distance[len1][len2];

 for (int i = 0; i < len1; i ++)
 {
  dis[i][0]= i;
 }

 for (int j= 0; j< len2; j ++)
 {
  dis[0][j]= j;
 }

 for (int i= 1; i< len1; i ++)
 {
  for (int j= 1; j< len2; j ++)
  {
   if (word1[i- 1]== word2[j - 1])
   {
    dis[i][j]= dis[i - 1][j- 1];
   }
   else
   {
    dis[i][j]= min(dis[i- 1][j- 1]+ 1, min(dis[i][j-1]+ 1, dis[i-1][j]+ 1));
   }
  }
 }
  return dis[len1- 1][len2- 1];
    }
};