机器学习：逻辑回归

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注：本系列博客是博主学习Stanford大学 Andrew Ng 教授的《机器学习》课程笔记。博主深感学过课程后，不进行总结很容易遗忘，根据课程加上自己对不明白问题的补充遂有此系列博客。本系列博客包括线性回归、逻辑回归、神经网络、机器学习的应用和系统设计、支持向量机、聚类、将维、异常检测、推荐系统及大规模机器学习等内容。

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逻辑回归

分类（Classification)

分类问题举例：

邮件：垃圾邮件/非垃圾邮件？

在线交易：是否欺诈（是/否）？

肿瘤：恶性/良性？

以上问题可以称之为二分类问题，我们将因变量(dependant variable)可能属于的两个类分别称为负向类（negative class）和正向类（positive class），则因变量yϵ{0,1}，其中0表示负向类，1表示正向类。

对于多分类问题，可以如下定义因变量y：y∈{0,1,2,3,...,n}

如果分类器用的是回归模型，并且已经训练好了一个模型，可以设置一个阈值：

如果hθ(x)≥0.5，则预测y=1,既y属于正例；

如果hθ(x)<0.5，则预测y=0,既y属于负例；

但是对于二分类问题来说，线性回归模型的Hypothesis输出值hθ(x)可以大于1也可以小于0。这个时候我们引出逻辑回归，逻辑回归的Hypothesis输出介于0与1之间，即:

0≤hθ(x)≤1

假说表示（Hypothesis Representation）

上一节谈到，我们需要将Hypothesis的输出界定在0和1之间，既：0≤hθ(x)≤1

但是线性回归无法做到，这里我们引入一个函数g, 令逻辑回归的Hypothesis表示为：

hθ(x)=g(θTx)，这里g称为Logistic function

例如，如果对于给定的 x，通过已经确定的参数计算得出 hθ(x)=0.7，则表示有 70%的几率y为正向类，相应地y为负向类的几率为  1-0.7=0.3。

现在假设我们有一个模型：hθ(x)=g(θ0+θ1x1+θ2x2) ，并且参数θ是向量[-3 1 1]。则当-3+x1+x2 大于等于0，即x1+x2大于等于3 时，模型将预测 y=1。

我们可以绘制直线 x1+x2=3，这条线便是我们模型的分界线，将预测为 1 的区域和预测为 0 的区域分隔开。 

上述只是一个线性的决策边界，当hθ(x)更复杂的时候，我们可以得到非线性的决策边界，例如：

Costfunction(代价函数)

对于线性回归模型，我们定义的代价函数是所有模型误差的平方和。理论上来说，我们也可以对逻辑回归模型沿用这个定义，但是问题在于，当我们将

带入到这样定义了的代价函数中时，我们得到的代价函数将是一个非凸函数（non-convex function）。  

这意味着我们的代价函数有许多局部最小值，这将影响梯度下降算法寻找全局最小值。因此我们重新定义逻辑回归的代价函数：

这样构建的Cost(hθ(x),y)函数的特点是：当实际的  y=1  且 hθ也为 1时误差为 0，当  y=1 但hθ不为1 时误差随着  hθ 的变小而变大；当实际的 y=0  且 hθ也为  0  时代价为0，当y=0 但hθ不为0时误差随着hθ的变大而变大。

在得到这样一个代价函数以后，我们便可以用梯度下降算法来求得能使代价函数最小的参数了。算法为： 

注意，这个算法和线性回归里的梯度下降算法几乎是一致的，除了hθ(x)的表示不同。

除了梯度下降算法以外，还有一些常被用来令代价函数最小的算法，这些算法更加复杂和优越，而且通常不需要人工选择学习率，通常比梯度下降算法要更加快速。这些算法有：共轭梯度（Conjugate Gradient），局部优化法(Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS)和有限内存局部优化法(LBFGS)。

Multi-classclassification: One-vs-all(多类分类问题)

多类分类问题举例：

电子邮件分类/标注： 工作邮件，朋友邮件，家庭邮件，爱好邮件

医疗图表(medicaldiagrams): 没有生病，着凉，流感

天气：晴天，多云，雨，雪

One-vs-all(one-vs-rest):

对于多类分类问题，可以将其看做成二类分类问题：保留其中的一类，剩下的作为另一类。例如，对于下面这个例子，可以分别计算其中一类相对于其他类的概率：

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作者：hao_09

时间：2015/8/9

文章地址：http://blog.csdn.net/lsh_2013/article/details/47381227

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