并查集的详解与应用（基础篇）

MD，今天打比赛第一题并查集就不会，于是晚上回来恶补了一下并查集，现在做一个总结。

 并查集学习：

• 并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

• 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

• 并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

• 主要代码实现

注意：代码中路径压缩时秩不需变化的，正如Eillen所说，秩只是表示节点高度的一个上界如果用秩进行计数，路径压缩也是不需要变化的因为所属集合的根节点的秩在合并时已经更新，其他子节点的秩不用到也无需再变化；

int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/int rank[MAX];     /* rank[x]表示x的秩*//* 初始化集合*/void Make_Set(int x){    father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化    rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化}/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/int Find_Set(int x){    if (x != father[x])    {        father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华    }    return father[x];}/*按秩合并x,y所在的集合下面的那个if else结构不是绝对的，具体<strong>根据实际情况</strong>变化但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。*/void Union(int x, int y){    x = Find_Set(x);    y = Find_Set(y);    if (x == y) return;    if (rank[x] > rank[y])    {        father[y] = x;        rank[x] += rank[y];    }else    {        if (rank[x] == rank[y])        {            rank[y]++;        }        father[x] = y;    }}

注：原文链接：http://www.ahathinking.com/archives/10.html

下面先上一道简单的题练练手。

bjfu 1126 我想去旅行

题目链接：http://acm.bjfu.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1126

#include <iostream>#include <cstring>#include <string>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;int country[20], t[20];int findfather(int x) {//寻找根节点if (country[x] != x)country[x] = findfather(country[x]);return country[x];}int main(){int n,m;while(~scanf("%d%d", &n,&m)){int a, b;memset(t, 0, sizeof(t));for (int i = 0; i <= n; i++)country[i] = i;//初始化while (m--) {scanf("%d%d", &a, &b);a = findfather(a);b = findfather(b);if(a!=b)country[b] = a;//根节点不同，则合并}for (int i = 0; i <= n; i++)t[findfather(i)]=1;int sum = 0;for (int i = 0; i <= n; i++)if (t[i] == 1)sum++;if (sum==1)printf("yes!\n");elseprintf("sorry!\n");}return 0;}/*下面给出具体步骤：第一步：country[0]=0...（省略，应该都看得懂）第二步：第一组：country【3】=0..第二组：country【2】=1，第三组：country【3】=country【2】=1，第四组：country【1】=0第三步：统计有多少不同的根节点，每找到一个就标记为1（如果根节点只有一个，说明符合题意，输出yes）*/

第二题，稍微有点变化，但也是基础题

bjfu 1414 AQ and hie xiaoqiang

题目链接:http://acm.bjfu.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1414

#include <iostream>#include <cstring>#include <string>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;int f[10005], t[10005], tmp[10005];int findfather(int x) {//寻找根节点if (f[x] != x)f[x] = findfather(f[x]);return f[x];}void join(int x, int y)//合并{int tx = findfather(x), ty = findfather(y);f[tx] = ty;}int main(){int n, m;while (~scanf("%d%d", &n, &m)){int p, a, b;memset(t, 0, sizeof(t));memset(tmp, 0, sizeof(tmp));for (int i = 1; i <= n; i++)f[i] = i;//初始化while (m--){scanf("%d%d%d", &p, &a, &b);a = findfather(a);b = findfather(b);if (p == 1)join(a, b);else{if (!tmp[a])tmp[a] = b;elsejoin(tmp[a], b);if (!tmp[b])tmp[b] = a;elsejoin(tmp[b], a);}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (!t[findfather(i)]){ans++;//cout<<findfather(i)<<endl;t[findfather(i)] = 1;}printf("%d\n", ans);}return 0;}/*这道题和上面那道题主要的区别在于多开一个数组作为中介，建立一个人和其敌人的敌人的关系，也就是朋友关系。另外，这道题也可以不开这个数组，如果i与j是敌人，我们就join(i,j+n)和join(i+n,j);不难理解，如果我们再来一个k与j是敌人的话，那么，j与i就应该是朋友，按照程序我们会join(k,j+n)；又因为之前i和j+n已经在一个家族里，那么k与i就在一个家族中了，也就实现了敌人的敌人是朋友这种关系。最后只要计算a数组的前n项所属的家族数即可。*/