[图论]最大流介绍 Ford-Fulkerson算法 邻接表实现

这次来讲最大流的相关问题，介绍图上的网络流。网络流具有各种各样的性质和应用，还有很多的变体，程序设计竞赛当中也经常会出现相关题目。

先来看一个例子：

最大传输量
网络中有两台计算机s和t，现在想从s传输到t，该网络中一共有N台计算机，其中一些计算机之间连有一条单项的通信电缆，每条通信电缆都有对应的1秒钟所能传输的最大数据量。当其他计算机之间没有数据传输时，在1s内最多可以传输多少数据到t？

把计算机当作顶点，把链接计算机的通信电缆当作边，就可以把这个网络当作一个有向图来考虑了。图中的每条边e∈E，都有对应的最大可能的数据传输量c(e)，这样，就可以把问题转为如下形式。

• 记录每条边对应的实际数据传输量为f(e)
• 传输量应该满足如下限制：
  0≤f(e)≤c(e)
• 对任意 v∈{s,t} 都有 Σe∈ξ−(v)f(e)=Σe∈ξ+(v)f(e)，即数据在传输过程中既不会增加也不会减少，收到的量和发出去的量必须相等。
• 目标是最大化从s发出的数据量Σe∈ξ+(s)f(e)
  我们称是的传输量最大的f为最大流，而求解最大流的问题称为最大流问题。此外， 我们称c为边的容量，f为边的流量，s为源点，t为汇点。那么，这个问题应该如何求解呢？首先考虑下面的贪心算法。
  1、找一条s到t的只经过f(e)<c(e) 的边的路径。
  2、如果不存在满足条件的路径，则结束算法，否则，沿着该路径尽可能地增加c(e)，返回第一步。
  将该算法运用于样例，就得到了如下结果：

这样的结果是正确的吗？事实上，如果采用以下的方案，可以得到更优的结果。显然这个贪心算法是不正确的。

我们观察两者之间的流量之差，可以发现，后者的方案在1->2之间少了1Mbps，却换来了s->2和1->3->5两处的流量增加。事实上，就是将原先得到的流给退回去，从而得到了新的更大的流，将算法进行如下改进：
1、只利用满足f(e)<c(e) 的 e 对应的反向边 rev(e) ，寻找一条从 s 到 t 的路径。
2、如果不存在满足条件的路径，则结束，否则，沿着该路径尽可能地增加流，返回第一步。

struct edge{int to,cap,rev;};//终点、容量、反向边vector<edge> G[MAXV];//邻接表bool used[MAXV]; //dfs时要用到//向图中增加一条从s到t，容量为cap的边void add_edge(int from,int to,int cap){    edge temp;    temp.to = to;    temp.cap = cap;    temp.rev = G[to].size();    G[from].push_back(temp);    temp.to = from;    temp.cap = 0,    temp.rev = G[from].size()-1;    G[to].push_back(temp);}int dfs(int v,int t,int f){    if (v==t) return f;    used[v] = true;    for(int i = 0; i < G[v].size(); i++)    {        edge &e = G[v][i];        if (!used[e.to] && e.cap > 0)        {            int d = dfs(e.to, t, min(f,e.cap));            if (d>0)            {                e.cap -= d;                G[e.to][e.rev].cap += d;                return d;            }        }    }    return 0;}int max_flow(int s,int t){    int flow = 0;    for(;;)    {        memset(used,0,sizeof(used));        int f = dfs(s,t,INF);        if (f==0) return flow;        flow += f;    }}

记最大流的流量为F,那么Ford-Fulkerson算法最多进行F次深度优先搜索，所以其复杂度为O(F|E|)。不过，这是一个很松的上界，达到这种最坏复杂度的情况几乎不存在。所以在多数情况下，即便通过估算得到的复杂度偏高，实际运用当中还是比较快的。