[数论] Miller_Rabbin算法判断大素数，Pollard_rho算法进行质因素分解

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Miller-rabin

Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。

但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。

pollard-rho

这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。

至于这个随机数序列是如何生成的暂时还不能理解，而且也是有多种不同的方式。这个序列生成过程中会产生循环，遇到循环则立即退出。

Pollard rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b，而待分解的大整数为n，计算p=gcd(a-b,n)，直到p不为1，或者a，b出现循环为止。然后再判断p是否为n，如果p=n成立，那么返回n是一个质数，否则返回p是n的一个因子，那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p)，这样，我们就可以求出n的所有质因子。
    具体操作中，我们通常使用函数x2=x1*x1+c来计算逐步迭代计算a和b的值，实践中，通常取c为1，即b=a*a+1，在下一次计算中，将b的值赋给a，再次使用上式来计算新的b的值，当a，b出现循环时，即可退出进行判断。
    在实际计算中，a和b的值最终肯定一出现一个循环，而将这些值用光滑的曲线连接起来的话，可以近似的看成是一个ρ型的。
    对于Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的时间复杂度内找到n的一个小因子p，可见效率还是可以的，但是对于一个因子很少、因子值很大的大整数n来说，Pollard rho算法的效率仍然不是很好，那么，我们还得寻找更加的方法了。

Miller-rabin算法用到了二次探测，因为有些数称为Carmichael数，它满足费马小定理，但不是素数。

模板：POJ  1811

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1. #include <iostream>  
2. #include <stdio.h>  
3. #include <stdlib.h>  
4. #include <string.h>  
5. #include <algorithm>  
6. #include <vector>  
7. #include <queue>  
8. #include <stack>  
9. #include <map>  
10. #include <set>  
11. #include <cmath>  
12. #include <time.h>  
13. #include <iomanip>  
14. #include <cctype>  
15. using namespace std;  
16.   
17. /** 
18. Miller_Rabin 算法进行素数测试 
19. 快速判断一个<2^63的数是不是素数,主要是根据费马小定理 
20. */  
21. #define ll long long  
22. const int S=8; ///随机化算法判定次数  
23.   
24. ///计算ret=(a*b)%c  a,b,c<2^63  
25. ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)  
26. {  
27.     a%=c;  
28.     b%=c;  
29.     ll ret=0;  
30.     ll temp=a;  
31.     while(b)  
32.     {  
33.         if(b&1)  
34.         {  
35.             ret+=temp;  
36.             if(ret>c)  
37.                 ret-=c;//直接取模慢很多  
38.         }  
39.         temp<<=1;  
40.         if(temp>c)  
41.             temp-=c;  
42.         b>>=1;  
43.     }  
44.     return ret;  
45. }  
46.   
47. ///计算ret=(a^n)%mod  
48. ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)  
49. {  
50.     ll ret=1;  
51.     ll temp=a%mod;  
52.     while(n)  
53.     {  
54.         if(n&1)  
55.             ret=mult_mod(ret,temp,mod);  
56.         temp=mult_mod(temp,temp,mod);  
57.         n>>=1;  
58.     }  
59.     return ret;  
60. }  
61.   
62. ///通过费马小定理 a^(n-1)=1(mod n)来判断n是否为素数  
63. ///中间使用了二次判断,令n-1=x*2^t  
64. ///是合数返回true，不一定是合数返回false  
65. bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)  
66. {  
67.     ll ret=pow_mod(a,x,n);  
68.     ll last=ret;//记录上一次的x  
69.     for(int i=1;i<=t;i++)  
70.     {  
71.         ret=mult_mod(ret,ret,n);  
72.         if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1)  
73.             return true;//二次判断为是合数  
74.         last=ret;  
75.     }  
76.     if(ret!=1)  
77.         return true;//是合数,费马小定理  
78.     return false;  
79. }  
80.   
81.   
82. ///Miller_Rabbin算法  
83. ///是素数返回true(可能是伪素数)，否则返回false  
84. bool Miller_Rabbin(ll n)  
85. {  
86.     if(n<2) return false;  
87.     if(n==2) return true;  
88.     if((n&1)==0) return false;//偶数  
89.     ll x=n-1;  
90.     ll t=0;  
91.     while((x&1)==0)  
92.     {  
93.         x>>=1;  
94.         t++;  
95.     }  
96.     srand(time(NULL));  
97.     for(int i=0;i<S;i++)  
98.     {  
99.         ll a=rand()%(n-1)+1; // 生成随机数 0<a<=n-1  去试试  
100.         if(check(a,n,x,t))  
101.             return false;  
102.     }  
103.     return true;  
104. }  
105.   
106. /** 
107. pollard_rho算法进行质因素分解 
108. */  
109. ll factor[100];//质因素分解结果(一开始无序）  
110. int tot;//质因素的个数 0~to-1  
111. ll gcd(ll a,ll b)  
112. {  
113.     ll t;  
114.     while(b)  
115.     {  
116.         t=a;  
117.         a=b;  
118.         b=t%b;  
119.     }  
120.     if(a>=0) return a;  
121.     return -a;  
122. }  
123.   
124. ///找到一个质因素  
125. ll pollard_rho(ll x,ll c)  
126. {  
127.     ll i=1,k=2;  
128.     srand(time(NULL));  
129.     ll x0=rand()%(x-1)+1;//随即一个因子来判断  
130.     ll y=x0;  
131.     while(1)  
132.     {  
133.         i++;  
134.         x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;  
135.         ll d=gcd(y-x0,x);  
136.         if(d!=1&&d!=x) return d;  
137.         if(y==x0) return x;  
138.         if(i==k)  
139.         {  
140.             y=x0;  
141.             k+=k;  
142.         }  
143.     }  
144. }  
145.   
146. ///对n进行质因素分解，存入factor数组，k为了防止死循环，设置为107左右  
147. void findfac(ll n,int k)  
148. {  
149.     if(n==1)  
150.         return;  
151.     if(Miller_Rabbin(n))  
152.     {  
153.         factor[tot++]=n;  
154.         return;  
155.     }  
156.     ll p=n;  
157.     int c=k;  
158.     while(p>=n)  
159.         p=pollard_rho(p,c--);  
160.     findfac(p,k);  
161.     findfac(n/p,k);  
162. }  
163.   
164. int main()  
165. {  
166.     int t;scanf("%d",&t);  
167.     ll n;  
168.     while(t--)  
169.     {  
170.         scanf("%I64d",&n);  
171.         if(Miller_Rabbin(n))  
172.         {  
173.             printf("Prime\n");  
174.             continue;  
175.         }  
176.         tot=0;  
177.         findfac(n,107);  
178.         sort(factor,factor+tot);  
179.         printf("%I64d\n",factor[0]);  
180.     }  
181.     return 0;  
182. }