NOIP2014 联合权值 解题报告

描述

无向连通图 G 有 n 个点，n-1 条边。点从 1 到 n 依次编号，编号为 i 的点的权值为 Wi， 每条边的长度均为 1。图上两点(u, v)的距离定义为 u 点到 v 点的最短距离。对于图 G 上的点对(u, v)，若它们的距离为 2，则它们之间会产生Wu×Wv的联合权值。

请问图 G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

格式

输入格式

第一行包含 1 个整数 n。

接下来 n-1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数 u、v，表示编号为 u 和编号为 v 的点 之间有边相连。

最后 1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示 图 G 上编号为 i 的点的权值为Wi。

输出格式

输出共 1 行，包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图 G 上联合权值的最大值 和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007取余。

样例1

样例输入1[复制]

51 22 33 44 51 5 2 3 10

样例输出1[复制]

20 74

限制

对于 30%的数据，1 < n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 < n ≤ 2000；

对于 100%的数据，1 < n ≤ 200,000，0 < Wi ≤ 10,000。

提示

本例输入的图如上所示，距离为 2 的有序点对有(1,3)、(2,4)、(3,1)、(3,5)、(4,2)、(5,3)。 其联合权值分别为 2、15、2、20、15、20。其中最大的是 20，总和为 74。

样例数据：

5

1 2

2 3

3 4

4 5

1 5 2 3 10

样例输出

20 74

具体操作：

S[i]（边）

     1

     2

     3

      4

     5

   W[i]

     1

      5

      2

      3

     10 

   Max1[i]

     2

      2

     5

      10

      3

   Max2[i]

      /

      1

      3

       2

      /

即由表可知，除去1,5点后共有6组即距离为2的有序点对有(1,3)、(2,4)、(3,1)、（3,5）、(4,2)、(5,3)。其联合权值分别为2、15、2、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

分析：

总的来说，本体让求两个值，一个所有权值联合后的和，二是最大的联合权值，那好，我们暂且先来看看这最大的联合权值

所谓联合权值，就是两个距离为2的节点的全职的乘积，那怎么乘着最大呢？对一个点来说，最大的乘积自然就是和它相邻的两个权值最大的节点的权值的乘积，

至于求这两个最大值，我们完全可以在读入数据的时候顺便处理一下嘛，举手之劳而已！！

对于所有的联合权值之和，我们要求你还是要有一点数学基础的，但也不高，三年级就足够了！！你先想一想，我们怎么来求这个和呢？哦！无非就是把所有的

加起来而已嘛！对啊， 但是怎么加着快呢？你想一想，哦，一个点旁边有好多个点，每两个都乘一下，真的好麻烦啊！！有什么传说级别的算法能处理一下吗？

不，没有。有的只有一个，那叫做，加法结合律！！！

好吧，我也不装了，你想一想，和o点相邻的点有a,b,c,d,e,f,g七个，假设他们的权值就是a,b,c,d,e,f,g，二逼青年的计算过程是这样的：sum：=a*b+a*c+a*d+a*....+e*f+e*g....,但其实我们这样处理，我们先用加法运算法则，发现sum其实就是每个点的权值乘以可以联合（距离为2）的节点的所有权值之和，所以说，我们在读入数据的时候，可以预先处理一下，把每个节点周围相邻节点的权值之和给加起来，就以上述为例，在处理时，把a,b,c....g的权值加起来为s[o](O点相邻点的权值之和)，然后在计算时，就可以用sum:=a*(s[o]-a)+b*(s[o]-b).....很自然的结果就出来了!

对上述算法进行效率分析，可知，似乎没有一个地方要用到两层循环，时间复杂度无限接近于O(n),肯定不超时的！！！

参考程序

type

  edge=record//用来存储边，u和v代表两个节点

   u,v:longint;

 end;

var

 n,i,j,ans1,ans2,u,v:longint;

 s:array[1..200000]of int64;//s数组用来存储和节点i相邻的所有点的权值之和

 w,max1,max2:array[1..200000]of longint;//w数组用来存储每个边的权值，max1用来存储每个节点相邻节点中权值最大的节点权值，max2来存储次大的节点权值

 e:array[1..200000]of edge;//存储边

procedure work(x:longint;vara,b:longint);//注意，这个过程是比大小的，但由于比较的结果必须返回，所以必须用全局变量，括号里的var是不可或缺的

begin                                   

  ifx>a then

 begin

   b:=a; a:=x;

  end

   else

  ifx>b then b:=x;

end;

begin

 readln(n);

  fori:=1 to n-1 do readln(e[i].u,e[i].v);//读入每个边的两个端点

  fori:=1 to n do read(w[i]);//读入权值

  fori:=1 to n-1 do //对值进行预处理

 begin

   u:=e[i].u; v:=e[i].v;

   inc(s[u],w[v]);//等同于s[u]:=s[u]+w[v]，意在计算u节点的相邻节点的权值总和

   inc(s[v],w[u]);//同上

   work(w[v],max1[u],max2[u]);//不断地更新节点周围权值的最大与次大值

   work(w[u],max1[v],max2[v]);//同上

 end;

  fori:=1 to n do if max1[i]*max2[i]>ans1 then ans1:=max1[i]*max2[i];//计算最大的联合权值

  fori:=1 to n-1 do//对每条边的两个节点进行处理

 begin

   u:=e[i].u; v:=e[i].v;

   ans2:=(ans2+(s[u]-w[v])*w[v] mod 10007)mod 10007;

   ans2:=(ans2+(s[v]-w[u])*w[u] mod 10007)mod 10007;

 end;

 writeln(ans1,' ',ans2);

end.

（2）、代码详解：

program quan1;

type

rec=record

 u,v:longint;

end; ////////////////一条边的左右两个顶点

var

 n,i,j,ans1,ans2,u,v:longint;

 s:array[1..200000]of longint; ////////////////用来存放一个顶点上与它相连的其他顶点权值之和

 w,max1,max2:array[1..200000]of longint;/////////w存放权值，max1,2是分别用来存储连接一个

 e:array[1..200000]of rec;                      //顶点的最大值次大值的数组

procedure compare_1(x:longint; vara,b:longint);//////即上述寻找最大值次大值的过程

begin

  ifx>a then begin

 b:=a; a:=x;//若x为最大值，则将最大值赋给a,由b保存次大值，即此处的a

  end

 else

  ifx>b then b:=x;//////当b<x<a时，将x赋值给b{a（max1）：最大值 b(max2)：次大值}

end;

//////////////////////////main////////////////////////////

begin

 readln(n);//读入n（点数）；

  fori:=1 to n-1 do

 readln(e[i].u,e[i].v);//读入边I的两个顶点

  fori:=1 to n do read(w[i]);//读入权值

  fori:=1 to n-1 do

 begin

   u:=e[i].u; v:=e[i].v;  //边i的两个顶点

   inc(s[u],w[v]); /////不断将结点相邻的权值加入该结点的s

   inc(s[v],w[u]);  //同上       

   compare_1(w[v],max1[u],max2[u]);     //////即上述的寻找最大值，次大值并加入数组

   compare_1(w[u],max1[v],max2[v]);    //////即上述的寻找最大值，次大值并加入数组    

 end;

  fori:=1 to  n do if max1[i]*max2[i]>ans1then ans1:=max1[i]*max2[i];/// 即所求最大联合权

  fori:=1 to n-1 do       //n-1条边                                       /值

 begin

    u:=e[i].u; v:=e[i].v;

    ans2:=(ans2+(s[u]-w[v])*w[v] mod 10007)mod 10007;  ///对于一条边i分别将

    ans2:=(ans2+(s[v]-w[u])*w[u] mod 10007)mod 10007;    //其两个顶点的联合权值之积      

     end;                                             // 加入ans2（和）；

    writeln(ans1,' ',ans2);//分别输出

    end.