该不该玩这个游戏

你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。妹纸提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”

各位分析一下，该不该和这妹纸玩这个游戏呢？

---

首先，第一反应是算期望的男生，活该孤独一生...

然后，仔细算下期望的话，还真是个有趣的问题。

大致算一下，似乎是一个零和游戏，但是，其实这并不是一零和游戏。

考虑一种更特殊的情况，如果把题目变成两正美女给你6块，两反美女给你-2块（你给美女2块），一正一反你给美女2块，你按前面相同的方法，将算出自己的期望是6/4+(-2)/4 + (-2)*2/4 = 0元。

但，明显，这种情况下，美女每局出反的话，你是必赔的。

---

想到这里，就可以把本问题转变成另一个问题了，如果美女很聪明，并且她想赢你，她应该如何亮硬币？

假设美女出正面的概率为p,则其出反面的概率是1-p:

当你出正时，美女获利的数学期望是：

E(1) = - 3p + 2(1-p) = 2 - 5p

当你出反时，美女获利的期望是：

E(2) = 2p - (1-p) = 3p - 1

当 E(1) = E(2)时，

p = 3/8，E= 1/8

即美女如果能保证随机的3/8概率出正，则美女平均每局可获利1/8元。

此时，假设你出正的概率是p, 你的收益期望为: E = 3/8 * p * 3 + 5/8 * (1-p) - 2 * (3/8 *(1-p) + 5/8*p) = -1/8

即，无论你如何出硬币，你的预期收益都是平均每局-1/8元。

原文地址：http://blog.acmol.com/pages/to-play-or-not.html

其实看了上面那么多，俺只想说，算期望的男生，活该孤独一生...