斐波那契数列、堆

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

第0项是0，第1项是第一个1。这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。

在数学上，斐波纳契数列被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

性质：

1、斐波那契数列又称黄金分割数列，原因是当n趋于无穷大时，后一项与前一项的比值接近1.618，也就是小数部分等于0.618，或者前一项与后一项的比值接近0.618。

2、从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

求斐波那契数列算法可看笔记“递归与循环”，尽量用循环来实现（效率高）！！！

应用例子：

1、有一根长为L的铁丝截成k段，每段长度不小于1（可以为小数），并且任意三段都不能拼成三角形，求k最大值。

先把截断的铁丝排序：n1<=n2<=n3<=....<=nk，

能拼成三角形等价于3条铁丝中任2条的和大于第3条，也就是两条小的边的和要大于第3条边，所以，不能拼成三角形，意味着任2条小边的和不能大于比它们大的边，也就是ni+n(i+1)<=n(i+2)，因为如果ni+n(i+1)比n(i+2)小，那ni+n(i+1)肯定比n(i+2)后面的边要小，同样如果n(i+2)比ni+n(i+1)大，那一定前面任两条边的和要大。

所以题目中的条件转化为：

n1+n2<=n3;n2+n3<=n4;....;n(k-2)+n(k-1)<=nk，且n1+n2+n3+...+nk=L，

要想分成更多段，那n1首先要尽量小，取1，n2也取1，n3也尽量小，取2，以此类推，化成了

n1=1,n2=1,n(i+2)=n(i+1)+ni

也就是按照斐波那契数列关系分割铁丝

2、有一个n级台阶，每步可以走1级或2级，求走完这n级台阶一共有多少种走法。

n=1：1种走法；

n=2：2种走法；

n>2：

如果第一步走1级，则还剩下n-1级，如果第一步走2级，则还剩下n-2级，总的走法等于这两者相加，设剩下n-1级共有f(n-1)种走法，剩下n-2级共有f(n-2)种走法，则f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

可见满足斐波那契数列：1,2,3,5,8,13....(从1开始，且第2个是2，不是1)，可用循环来求。

斐波那契堆

斐波那契堆(Fibonacci heap)是堆中一种，它和二项堆一样，也是一种可合并堆；可用于实现合并优先队列。斐波那契堆比二项堆具有更好的平摊分析性能，它的合并操作的时间复杂度是O(1)。

与二项堆一样，它也是由一组堆最小有序树组成，并且是一种可合并堆。

与二项堆不同的是，斐波那契堆中的树不一定是二项树；而且二项堆中的树是有序排列的，但是斐波那契堆中的树都是有根而无序的

插入操作：

插入操作非常简单：插入一个节点到堆中，直接将该节点插入到'根链表的min节点'之前即可；若被插入节点比'min节点'小，则更新'min节点'为被插入节点。斐波那契堆的根链表是'双向链表'，这里将min节点看作双向联表的表头。在插入节点时，每次都是将节点插入到min节点之前(即插入到双链表末尾)。

合并操作：

合并操作和插入操作的原理非常类似：将一个堆的根链表插入到另一个堆的根链表上即可。简单来说，就是将两个双链表拼接成一个双向链表。所以斐波那契堆的合并操作时间复杂度是一个常数，故为O(1)。

取出最小节点：

抽取最小结点的操作是斐波那契堆中较复杂的操作。

1、将要抽取最小结点的子树都直接串联在根表中；

2、合并所有degree相等的树，直到没有相等的degree的树;

减小节点值：

减少斐波那契堆中的节点的键值，这个操作的难点是：如果减少节点后破坏了'最小堆'性质，如何去维护呢？下面对一般性情况进行分析。

1、首先，将'被减小节点'从'它所在的最小堆'剥离出来；然后将'该节点'关联到'根链表'中。 倘若被减小的节点不是单独一个节点，而是包含子树的树根。则是将以'被减小节点'为根的子树从'最小堆'中剥离出来，然后将该树关联到根链表中。

2、接着，对'被减少节点'的原父节点进行'级联剪切'。所谓'级联剪切'，就是在被减小节点破坏了最小堆性质，并被切下来之后；再从'它的父节点'进行递归级联剪切操作。而级联操作的具体动作则是：若父节点(被减小节点的父节点)的marked标记为false，则将其设为true，然后退出。否则，将父节点从最小堆中切下来(方式和'切被减小节点的方式'一样)；然后递归对祖父节点进行'级联剪切'。marked标记的作用就是用来标记'该节点的子节点是否有被删除过'，它的作用是来实现级联剪切。而级联剪切的真正目的是为了防止'最小堆'由二叉树演化成链表。

2、最后，别忘了对根链表的最小节点进行更新。

增加节点值：

增加节点值和减少节点值类似，这个操作的难点也是如何维护'最小堆'性质。思路如下：

1、将'被增加节点'的'左孩子和左孩子的所有兄弟'都链接到根链表中。

2、接下来，把'被增加节点'添加到根链表；但是别忘了对其进行级联剪切。</p>

删除节点：

删除节点，采用操作是：'取出最小节点'和'减小节点值'的组合。

(1) 先将被删除节点的键值减少。减少后的值要比'原最小节点的值'即可。

(2) 接着，取出最小节点即可。