最短路径Floyd算法讲解

简介：Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名

如果需要求出每两点之间的最短路，不必调用n次Dijkstra（边权均为正）或者Bellman-ford（有负权）。有一种跟简单的实现算法-Floyd-Warshall算法

代码如下：

void Floyd(){    for(int k=1;k<=n;k++)        for(int i=1;i<=n;++i)            for(int j=1;j<=n;++j){                if(d[i][k]<INF&&d[k][j]<INF)///防止INF过大溢出                    d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);///对于不同的问题此处可以做出相应的改变            }}

Floyd算法注意事项：使用前需初始化，d[i][i]=0,其他d值为“正无穷”INF。注意INF的取值，防止溢出即可

其他应用：

1、求图中任意两点之间的最小距离

2、求图中从x到y的所经过的边中边权值最大的或最小的（Uva10048）

3、求图中任意两点之间是否有通路：在有向图中，有时不必关心路径的长度，而至关心每两点之间是否有通路，则可以使用1、0分别表示连通和不连通。这样除了需要做少些预处理外，主算法只需要改为：d[i][j]=d[i][j]||(d[i][k]&&d[k][j]);这样的结果成为有向图的传递闭包（Uva247）

优缺点：

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法，也要高于执行V次SPFA算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点：时间复杂度比较高O（n^3），不适合计算大量数据。