【最短路径】Floyd算法

    我们刚刚做了关于图最短路径的题目，学了几个算法。但这些算法都是从单源出发，找到某点到源的最短距离。但是如果我们要求任意两点之间的最短距离呢？这时我们就要用到Floyd算法了！

    这是一个o(n^3)的算法，但貌似最优的算法也是这个了。

    这个算法的核心在于，我们知道有两个点i和j，那么我们假设i到j之间要经过一个点k，那么我们可以比较dis[i,j]和dis[i,k]+dis[k,j]的值哪个更小，就进行松弛。这个相信大家都很好理解，就是三角形原理。那么我们可以得到：

for(int i=0;i<n;++i)

for(int j=0;j<n;++j)

for(int k=0;k<n;++k)

dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); 

    但这时我们要想了，如果在经过顺序处理后，有一个点更新了，那之前的点就无法更新了，我们可能要这样处理很多很多次，这个是有可能的。这样时间复杂度远远不止o(n^3）。

    我们怎么处理这个东西呢？可以把k点的循环写在最外面，那么我们就有：

for(int k=0;k<n;++k)

for(int j=0;j<n;++j)

for(int i=0;i<n;++i)

dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); 

    这时可以证明一次Floyd以后dis[x][y]就是最优解。

    为什么呢？因为Floyd算法实际上可以写成动态规划的形式f[i][j][k]表示从i到j，经过的最大边的编号不超过k-1的最小值。

    所以就是这样的了！