堆排序
来源:互联网 发布:js判断偶数 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 20:49
如下图所示。(二叉堆)是一个数组,它可以被看成一个近似的完全二叉树。树上的每一个结点对应数组中的一个元素。
A.length给出数组元素的个数,A.heap-size表示有多少个堆元素存储在该数组中。
树的根结点是A[1],这样给定一个结点的下标i,我们很容易计算得到它的父结点、左孩子和右孩子的下标
PARENT(i)return i/2 //向下取整LEFT(i)return 2iRIGHT(i)return 2i+1
二叉堆可以分为两种形式:最大堆和最小堆。在这两种堆中,结点的值都要满足堆的性质
在最大堆中,最大堆性质是指出来根以外的所有结点i都要满足:
A[PARENT(i)]>=A[i]
也就是说,某个结点的值之多与其父结点一样大。因此,堆中的最大元素存放在根结点中。而最小堆性质刚好相反。
在堆排序算法中,我们使用的是最大堆。最小堆通常用于构造优先队列。
维护堆的性质
MAX-HEAPIFY是用于维护最大堆性质的重要过程。
它的输入为一个数组A和一个下标i。在调用MAX-HEAPIFY的时候,我们假定根结点为LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉树是最大堆。
这时A[i]有可能小于其孩子,违背了最大堆的性质。MAX-HEAPIFY通过让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”,从而使得以下标i为根结点的子树重新遵循最大堆性质。
MAX-HEAPIFY(A,i)l=LEFT(i)r=RIGHT(i)if l<=A.heap-size and A[l]>A[i] largest=lelse largest=iif r<=A.heap-size and A[r]>A[largest] largest=rif largest!=i exchange A[i] with A[largest] MAX-HEAPIFY(A,largest)
下面是执行MAX-HEAPIFY(A,2)的情况
在程序的每一步,从A[i],A[LEFT(i)]和A[RIGHT[i]]中选出最大的,并将其下标存储在largest中。
如果A[i]是最大的,那么以i为结点的子树已经是最大堆,程序结束。否则,最大元素是i的某个孩子结点,则交换A[i]和A[largest]的值。
交换之后,下标为largest的结点的值是原来的A[i],以该节点为根的子树又可能违反最大堆性质。因此,需要对该子树递归调用MAX-HEAPIFY。
对于一个树高为h的结点来说,MAX-HEAPIFY的时间复杂度是O(h)
建堆
我们可以用自底向上的方法利用过程MAX-HEAPIFY把一个大小为n=A.length的数组转换成最大堆。
子数组A(n/2+1...n)中的元素都是树的叶结点,每个叶结点都可以看成包含一个元素的堆,所以只需要对树中的其它结点调用一次MAX-HEAPIFY
BUILD-MAX-HEAP(A)A.heap-size=A.lengthfor i=A.length/1 downto 1 MAX-HEAPIFY(A,i)
堆排序算法
初始时候,堆排序算法利用BUILD-MAX-HEAP将输入数组A[1...n]建成最大堆。
因为数组中的最大元素总在根结点A[1]中,通过把它与A[n]进行交换(把A[1]放到数组最后),我们可以让该元素放在正确的位置。
这时候,我们从堆中去掉结点n(通过减少A.heap-size的值来实现),原来跟的孩子结点仍然是最大最,而新的根结点可能会违背最大堆性质,因此我们需要调用MAX-HEAPIFY(A,1)在A[1...n-1]上构造一个新的最大堆。
堆排序算法会不断重复这一过程,直到堆的大小从n-1降到2
HEAPSORT(A)BUILD-MAX-HEAP(A)for i=A.length downto 2 exchange A[1] with A[i] A.heap-size=A.heap-size-1 MAX-HEAPIFY(A,1)
实现与测试代码
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int heap_size;void max_heapify(int arr[],int i){ int l=2*i; int r=2*i+1; int largest; if(l<=heap_size&&arr[l]>arr[i]) largest=l; else largest=i; if(r<=heap_size&&arr[r]>arr[largest]) largest=r; if(largest!=i) { swap(arr[i],arr[largest]); max_heapify(arr,largest); } }void build_max_heap(int arr[],int length){ heap_size=length; for(int i=length/2;i>=1;--i) max_heapify(arr,i);} void heapsort(int arr[],int length){ build_max_heap(arr,length); for(int i=length;i>=2;--i) { swap(arr[1],arr[i]); heap_size--; max_heapify(arr,1); }}int main(){ int arr[]={0,4,1,3,2,16,9,10,14,8,7}; heapsort(arr,10); for(int i=1;i<=10;++i) cout<<arr[i]<<' '; cout<<endl; system("pause");}