博弈论之SG函数

SG函数

       首先定义一个基于集合的运算mex{a1,a2,a3....}，运算的结果为集合的整数补集中的最小自然数。

       对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：

        g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

例：当前有n个石子，每次能取得石子集合为f[]={1,2,3}。

      sg[0]=0;

      sg[1]=mex{sg(1-f[1])}=1;

      sg[2]=mex{sg(2-f[1]),sg(2-f[2])}=2;

      sg[3]=mex{sg(3-f[1]),sg(3-f[2]),sg(3-f[3])}=mex{sg(2),sg(1),sg(0)}=3;

      sg[4]=mex{sg(4-f[1]),sg(4-f[2]),sg(4-f[3])}=mex{sg(3),sg(2),sg(1)}=0;

      ............

SG函数模板1

<pre name="code" class="cpp"><pre name="code" class="cpp"> //f[]：可以取走的石子个数//sg[]:0~n的SG函数值//hash[]:mex{}int f[N],sg[N],hash[N];     void getSG(int n){    int i,j;    memset(sg,0,sizeof(sg));    for(i=1;i<=n;i++)    {        memset(hash,0,sizeof(hash));        for(j=1;f[j]<=i;j++)            hash[sg[i-f[j]]]=1;        for(j=0;j<=n;j++){    //求mes{}中未出现的最小的非负整数            if(hash[j]==0){                sg[i]=j;                break;            }        }    }}

模板2

//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组int s[110],sg[10010],n;int SG_dfs(int x){    int i;    if(sg[x]!=-1)        return sg[x];    bool vis[110];    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(i=0;i<n;i++)    {        if(x>=s[i])        {            SG_dfs(x-s[i]);            vis[sg[x-s[i]]]=1;        }    }    int e;    for(i=0;;i++)        if(!vis[i])        {            e=i;            break;        }    return sg[x]=e;}