SG 函数，博弈论

讲博弈论，不得不说尼姆博奕，威佐夫博弈，巴什博奕，这是三种经典的博弈， 另外还有斐波那契数列型博弈，等等等。 问题有很多。

不管是取石子还是取石头还是打牌什么的，都可以归结于A，B，两个状态的博弈；

偶尔有简单的博弈， 偏数学规律的， 奇数 或者偶数 赢，质数赢，这样的也有，推推规律就能发现，这是简单的。

在这里我要说的是关于尼姆博弈引申出来的SG函数， 其实尼姆博弈是SG函数的特殊情况；

通常分析两个人。是分析两个人的状态， 是否在必败态上，如果在必败，那么就一定输了，

两种局势，必胜态和必败态。 我们知道从胜到败 有多种选择，(一着不慎，就输了)  而从必败到必胜却只有一条路。

尼姆博弈描述：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

注意这里描述的是 可以取任意多的物品， 那就是从1-n 都可以取，(假设有n个物品)；不可以不取。

而一般的题目，往往会限制，只能取1个，2个或者 4个  特定数目的 个数， 这时我们就必须用到SG函数了。

SG函数讲的是对于现在有x个物品 ，F{}集合表示我可以能取的石子的集合， （假如 一次只能取1,2,4 个石子。  F{}集合= F{1,2,4}；） 表示最小的不属于这个集合的非负整数， mex（S） （S表示剩余石头SG函数的集合）

例如 SG[x]=mex(S)=mex(1,2,3,4)=0;

SG[y]=mex(S)=mex(0,1,2,4)=3;

这样定义： 对于任意状态 x，定义 SG(x) = mex(S),其中 S是 x后继状态的SG函数值的集合。如 x有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样集合S的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x为必败点P时。

也就说SG【x】=0 必败态；

就拿取石子为例：

F=（1,3,4）；n个石子

x=0,SG[0]=0;

x=1,剩下 1-F{1}=0; SG[1]=mex(SG[0])=1;

x=2 剩下2-F{1}={1,} SG[2]=mex(SG[1])= 0

x=3 剩下 3-F{1,3}={2,0} SG[3]=mex(SG[2],SG[0])==mex(0.0)=1;

x=4 剩下  4-F{1,3,4}={3,1,0}  SG[4]=mex(SG[3],SG[1],SG[0])= mex(1,1,0}=2

依次类推， x=5=SG[5]=3;

   x        0  1  2 3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0 1  0  1  2  3  2  0  1....

知道SG 后 剩下的操作就是 求亦或了，  亦或到最后  ！=0  先手胜  否则后手胜利；

SG函数求解 ：

 SG值的计算方法  

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) =x; （尼姆）

3.可选步数为一系列不连续的数，用模板计算。

模板：

int f[N],sg[N],S[N];       void getSG(int n)  {      int i,j;      memset(sg,0,sizeof(sg));      //sg[0]=0  必败态     for(i=1;i<=n;i++)      {          memset(S,0,sizeof(S));   // 重置         for(j=1;f[j]<=i&&j<=N;j++)              S[sg[i-f[j]]]=1;  //后继SG标记         for(j=0;j<=n;j++)   // 最小非0          {              if(!S[j])              {                  sg[i]=j;                  break;              }          }      }  }

这样遇到一般的博弈恐惧感就少了许多， 博弈 代码不多，难在推状态，  难的博弈，确实难推

参考博客：http://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432

题目链接：

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HOJ 4388 Stone Game II

POJ 2975 Nim
HOJ 1367 A Stone Game
POJ 2505 A multiplication game
ZJU 3057 beans game
*POJ 1067 取石子游戏
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POJ 3533 Light Switching Game

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